INFO EX 5 DS 10 1S MAI 09

    INFO EX 5              DS n° 10      23 MAI 2009  1S

  EXERCICE 5

      Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

      Soit les points  A ( 2 ; 5 ) et B( 1 ; 3 ).

      Soit I le point milieu du segment [ AB] .

       1.a. Calculer la distance AB.

          b. Donner les coordonnées du point I .

       2. Trouver une équation du cercle de diamètre [AB].

       3. Donner une équation de la droite  ( AB ) .

       4. Donner une équation de la médiatrice du segment [AB].

       5. Déterminer l'ensemble ( W ) des points M du plan tels que :

             MA² + MB  = 1 / 2.

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    Réponse:  

 

        1 .a. On a le vecteur vect( AB ) qui a pour coordonnées :  1 - 2 = - 1

                                                                                                   3 - 5 = - 2

              Donc    AB = √(  ( - 1 )² + ( - 2 )²   ) = √( 1 + 4 )

      Conclusion:    AB = √5

            b. Les coordonnées du point I sont:  ( 2 + 1 ) / 2 = 3 / 2

                                                                       ( 5 + 3 ) / 2 = 4

        Conclusion:  Les coordonnées de I sont ( 3 / 2 ; 4 ) 

     2. Le point M appartient au cercle de diamètre [AB]

          ssi   vect( MA ) . vect( MB ) = 0.

         Soit M( x , y )  .

       On a :   Le vecteur  vect( MA ) a pour coordonnées : 2 - x

                                                                                          5 - y  

                 Le vecteur vect( MB ) a pour coordonnées :    1 - x  

                                                                                         3 - y

              Donc  

    vect( MA ) . vect( MB ) = ( 2 - x ) ( 1 - x )  + ( 5 - y )  (  3 - y )

 c-à-d

  vect( MA ) . vect( MB ) = 2 + x² - 2 x - x + y² + 15 - 5 y- 3 y

 c-à-d

     vect( MA ) . vect( MB ) = 2 + x² - 3 x + y² + 15 - 8 y

c-à-d

  vect( MA ) . vect( MB ) = x² + y² - 3 x - 8 y + 17

 Conclusion: l'équation du cercle de diamètre [AB] est

                      x² + y² - 3 x - 8 y + 17  = 0

        3.  La droite ( AB ) n'est pas verticale car A et B n'ont pas la même abscisse.

            Elle admet une équation réduite de la forme : y = a x + b

           avec   a = (   yB - yA   ) / ( xB - xA  )

           Donc     a = ( - 2 ) / ( - 1 ) = 2

           De plus les coordonnées du point A vérifient l'équation :

           On a donc :   yA = 2 xA + b

                 c-à-d    b =  yA  -  2 xA

               c-à-d    b = 5 - 2 ( 2 ) = 1

         Conclusion: l'équation réduite de la droite ( AB ) est : y = 2 x + 1 

                       

   4.  La médiatrice du segment [AB] est  la droite passant par I et  de

           vecteur normal vect( AB ).

         Les coordonnées du vecteur vect( AB ) sont :  ( - 1 ; - 2 )

        Donc une équation de la droite ( AB ) est de la forme

          - 1   x  - 2 y + c = 0

        Les coordonnées ( 3 / 2  ;   4 ) du point I vérifient cette équation.

        Donc   - 3 / 2 - 8 + c = 0

        c-à-d    - 19 / 2 + c = 0

          c-à-d      c = 19 / 2

        Conclusion :  La médiatrice du segment [AB] est

         d'équation : - x - 2 y + 19 / 2 = 0

          c-à-d       y = ( - 1 / 2 ) x + 19 / 4

    5. D'après le Théorème de la médiane on a :

               MA² + MB² = 2 MI²  + AB² / 2

        L'égalité MA² + MB² = 1 / 2

         s'écrit donc :      2 MI²  + AB² / 2 = 1 / 2

          c-à-d                 2 MI² +  (√ 5 )² / 2 = 1 / 2   

         c-à-d                   2 MI²  +  5  / 2 = 1 / 2

         c-à- d               2 MI² = 1 / 2 - 5 / 2

        c-à-d                 2 MI² = - 2         IMPOSSIBLE

         c-à-d                MI² = - 1           IMPOSSIBLE

          Conclusion:   W est l'ensemble vide .

                                 W = Ø