INFO EX2 DS4 1S 20 DEC. 2008
EX.2 Soit la fonction g : x → 2 x3 - 3 x2 - 36 x + 1
1. Donnons le signe de x² - x - 6 .
On a: Δ = b² - 4 ac
Ici Δ = ( - 1 )² - 4 ( 1 ) ( - 6 ) = 1 + 24 = 25
Comme Δ > 0 il y a deux racines distinctes .
( - b - √ Δ ) / ( 2 a ) = ( 1 + 5 ) / 2 = 3
(- b + √ Δ ) / ( 2 a ) = ( 1 - 5 ) / 2 = - 2
Le coefficient de x² est 1. La règle des signes d'un trinome
du second degré donne:
Conclusion. x² - x - 6 < 0 ssi - 2 < x < 3
x² - x - 6 > 0 ssi x < - 2 ou x > 3
x² - x - 6 = 0 ssi x = - 2 ou x = 3
2.Donnons le sens de variation de g. g est une fonction polynôme.
g est donc définie et dérivable dans IR. g ' : x → 6 x² - 6 x - 36 c-à-d g ' : x → 6 ( x² - x - 6) ( En factorisant 6. ) Le signe de g’ (x) est celui de x² - x - 6. ( Inutile de refaire le travail. )
g ' ( x ) < 0 ssi - 2 < x < 3 g ' ( x ) > 0 ssi x < - 2 ou x > 3 g ' ( x ) = 0 ssi x = - 2 ou x = 3 Le sens de variation en découle. Conclusion. g est strictement croissante sur les intervalles ] - ∞ , - 2 ] et [ 3 , + ∞ [ . g est strictement décroissante sur l'intervalle [ - 2 , 3 ] 3 . Donnons une approximation affine de g ( 1 + h ) avec h réel voisin de 0. On a : g( 1 + h ) ≈ g( 1 ) + h g '( 1 ) d'après le cours . Or g( 1 ) = 2 - 3 - 36 + 1 = - 36 et g '( 1 ) = 6 ( 1 - 1 - 6 ) = - 36 D'où : Conclusion: g( 1 + h ) ≈ - 36 - 36 h pour h réel voisin de 0. 4.a. Montrons que sur l'intervalle [ 0 ; 0,1] g est définie , dérivable , strictement monotone et g( 0 ) × g( 0,1 ) < 0. • On a g qui est définie et dérivable dans IR donc aussi dans l'intervalle | 0 ; 0,1 ] . • On a g qui est strictement décroissante dans l'intervalle [ - 2 , 3 ]. Or l'intervalle [ 0 ; 0,1 ] est inclus dans l'intervalle [ - 2 , 3 ] . Donc g est strictement décroissante dans l'intervalle [ 0 ; 0,1 ]. Ainsi on a bien g strictement monotone dans l'intervalle [ 0 ; 0,1 ]. • On a g ( 0 ) = 1 et g( 0 , 1 ) ≈ - 2 , 6 Ainsi : g( 0 ) × g( 0 , 1 ) < 0. Conclusion: On a bien sur l'intervalle [ 0 ; 0,1] g qui est définie , dérivable ,
strictement monotone et g( 0 ) × g( 0,1 ) < 0. b. Déduisons un encadrement d'une solution α de l'équation g( x ) = 0 . L'existence et l'unicité de la solution α de g( x ) = 0 dans l'intervalle [ 0 ; 0,1 ] résulte du 4.a. On peut dire : g( 0 , 1 ) < 0 < g( 0 ) Or g( α ) = 0
Donc g( 0,1 ) < g( α ) < g( 0 )
Comme g est décroisante strictement sur l'intervalle [ 0 ; 0,1 ] on a 0 < α < 0,1 Conclusion: L'équation g( x ) = 0 admet une seule solution α dans l'intervalle [ 0 ; 0,1] d'après le 4.a. On a α tel que 0 < α < 0,1.
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