INFO LISTE 2 D'EXERCICES Leçon 1 1S1 SEPT 09
EX 1. Soit la fonction f : x → - 2 x 2 - x + 6 .
a. Mettre l'expression de f sous la forme f ( x ) = a ( x - b ) 2 +c
où a , b , c sont des réels.
b. Soit ( C ) la courbe de la fonction g: x → a x 2 . Tracer ( C )
Comment peut-on obtenir la courbe ( C ' ) de f ? Tracer ( C ' ).
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Réponse:
a. Mise sous la forme canonique.
On a : f( x ) = - 2 x 2 - x + 6 pour tout réel x.
Soit x dans IR.
On a : f( x ) = - 2 ( x 2 + ( 1 / 2 ) x - 3 )
c-à-d f( x ) = - 2 [ x 2 + 2 × ( 1 / ( 2 × 2 ) ) x - 3 ]
c-à-d f( x ) = - 2 [ x 2 + 2 ( 1 / 4 ) x + ( 1 / 4 )2 - ( 1 / 4 )2 - 3 ]
c-à-d f( x ) = - 2 [ ( x + ( 1 / 4 ) )² - ( 1 /4 )² - 3 ]
c-à-d f( x ) = - 2 [ ( x + ( 1 / 4 ) )² - 1/ 16 - 48 / 16 ]
c-à-d f( x ) = - 2 [ ( x + ( 1 / 4 ) )² - 49 /16 ]
c-à-d f( x ) = - 2 [ ( x - ( - 1 / 4 ) )² - 49 /16 ]
c-à-d f( x ) = - 2 ( x - ( - 1 / 4 ) )² + 49 / 8
Donc a = - 2 b = - 1 / 4 c = 49 / 8
Conclusion : f( x ) = - 2 ( x - ( - 1 / 4 ) )² + 49 / 8
b. Représentation ( C ) de la fonction g : x → - 2 x 2 .
( C ) est une parabole.
La courbe ( C ' ) de la fonction f est l'image de ( C ) par
la translation de vecteur ( - 1/ 4 ) vect( i ) + ( 49 / 8 ) vect( j ).
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♦ EX 2. Le plan est muni d'un repère orthonormal ( Unité graphique : 2 cm.)
a. Comment peut-on résoudre graphiquement x 2+ x - 1 = 0 .
( Préciser deux méthodes.)
b. Décomposer la fonction f : x→ x 2+ x - 1.
Donner son sens de variation.
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Réponse:
a. Il y a plusieurs façons de procéder graphiquement. ( plus de deux façons.)
Méthode 1.
On constate que : x 2+ x - 1 = 0 s'écrit aussi x 2 = - x + 1 .
On trace la parabole d'équation y = x 2 et la droite D d'équation y = - x + 1
Les deux courbes se coupent en deux points . Les abscisses de ces points sont
les solutions de l'équation.
Méthode 2.
On trace la courbe de la fonction f : x→ x 2+ x - 1.
La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points dont les abscisses sont
les solutions de l'équation.
b. Décomposons la fonction f : x→ x 2+ x - 1.
Soit x dans IR.
On a : f ( x ) = x 2+ 1 x - 1 = x 2+ 2 ( 1 / 2 ) x - 1
c-àd f( x ) = x 2+ 2 ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 )² - ( 1 / 2 )² - 1.
c-àd f( x ) = ( x + 1 / 2 )² - 1 / 4 - 1
c-à-d f( x ) = ( x + 1 / 2 )² - 5 / 4
c-à-d f( x ) = ( x - ( - 1 / 2 ) )² - 5 / 4
Considérons les fonctions:
u : x→ x - ( - 1 / 2 )
v : : x→ x 2
w : x→ x - 5 / 4
Alors :
Conclusion : f = w o v o u
Donnons le sens de variation de f.
• La fonction affine u est strictement croissante sur IR.
Sa restriction à l'intervalle [ - 1 / 2 , + ∞ [ est positive.
Sa restriction à l'intervalle ] - ∞ , - 1 / 2 ] est négative.
• La fonction v est strictement croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞ [.
La fonction v est strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ , 0 ].
• La fonction affine w est strictement croissante sur IR.
Ainsi : La restriction de f à l'intervalle [ - 1 / 2 , + ∞ [ est la composée
de trois fonctions croissantes strictement.
La restriction de f à l'intervalle ] - ∞ , - 1 / 2 ] est la composée
de deux fonctions croissantes strictement avec une fonction
strictement décroissante.
Conclusion : f est strictement croissante sur l'intervalle [ - 1 / 2 , + ∞ [ .
f est strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ , - 1 / 2 ] .
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♦ EX 3. Déterminer trois réels a , b , c tels que: ( 2 x + 1 ) ( a x 2+ b x + c ) = 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1
pour tout réel x.
Résoudre dans l'ensemble des nombre réels , 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1= 0.
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Réponse:
• Méthode 1 : Par identification.
Soit x réel quelconque.
On a: ( 2 x + 1 ) ( a x 2+ b x + c ) = 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1
c-à-d 2 a x 3+ 2 b x2 + 2 c x + a x 2+ b x + c = 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1
c-à-d 2 a x 3 + ( 2 b +a ) x2 + ( 2 c + b ) x + c = 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1
pour tout x dans IR.
Par identification: ( des coefficients )
2 a = 4
2 b + a = 2
2 c + b = - 2
c = - 1
Résolvons ce système.
On a : a = 2 c = - 1 b = 0
Conclusion : a = 2 b = 0 c = - 1
• Méthode 2 : La division.
On a : ( 2 x + 1 ) ( 2 x 2 - 1 ) = 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1 pour tout x dans IR.
Conclusion : a = 2 b = 0 c = -1
• Résolution de l'équation 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1 = 0.
On a : 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1 = 0 ssi ( 2 x + 1 ) ( 2 x 2 - 1 ) = 0
c-à-d 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1 = 0 ssi 2 x + 1 = 0 ou 2 x 2 - 1 = 0
c-à-d 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1 = 0 ssi x = - 1 /2 ou x 2 = 1 / 2
c-à-d 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1 = 0 ssi x = - 1 /2 ou x = √( 1 / 2 ) ou x = - √( 1 / 2 )
Conclusion : S = { - 1 /2 ; - √( 1 / 2 ) ; √( 1 / 2 ) }
Remarque : On peut en avoir la confirmation graphiquement en traçant
la courbe de la fonction f :x → 4 x3 + 2 x2 - 2 x - 1
Celle-ci coupera trois fois l'axe des abscisses.
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♦ EX 4. a. Résoudre chacune des équations suivantes dans l'ensemble des nombre réels:
x 2+ x + 1 = 0 3x 2+ 6x +3 = 0 - x 2+3 x - 2 = 0
b. Représenter soit à l'aide de la calculatrice soit à l'aide GEOGEBRA les courbes des
fonctions: f : x → x 2+ x + 1 h : x → - x 2+3 x - 2
g : x → 3x 2+ 6x +3
Retrouver les ensembles solutions graphiquement.
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Réponse: a. • Résolution de l'équation x 2+ x + 1 = 0 dans IR.
Δ = b² - 4 a c
c-à-d Δ = 1² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = - 3
Donc Δ < 0
Conclusion : S = Ø
• Résolution de l'équation 3x 2+ 6x +3 = 0 dans IR.
L'équation s'écrit : x 2+ 2 x +1 = 0 .
Méthode 1. On a ( x + 1 )² = 0
c-à-d x = - 1
Conclusion : S = { - 1 }
Méthode 2. Δ = b² - 4 a c
c-à-d Δ = 2² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = 0
La racine double est: - b / ( 2 a ) = - 2 / 2 = - 1
Conclusion : S = { - 1 }
• Résolution de l'équation - x 2+ 3 x - 2 = 0 dans IR.
Méthode1
La somme des coefficients est nulle: - 1 + 3 - 2 = 0.
Donc 1 est une racine évidente.
L'autre est donc c / a = - 2 / ( -1 ) = 2
Conclusion : S = { 1 ; 2 }
Méthode 2;
Δ = b² - 4 a c
c-à-d Δ = 3² - 4 ( - 1 ) ( ( - 2 ) = 9 - 8 = 1
Donc Δ > 0 .
Les racines distinctes sont:
( - b - √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 - √1 ) / ( - 2 )= - 4 / ( - 2 ) = 2
( - b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 +√1 ) / ( - 2 ) = - 2 / ( - 2 ) = 1
Conclusion : S = { 1 ; 2 }
b. • Pour la fonction f.
Voici sa courbe.
La courbe de f ne rencontre pas l'axe des abscisses.
L'quation f( x ) = 0 n'admet donc pas de solution.
Conclusion : SIR = Ø
• Pour la fonction g : x → 3 x 2+ 6 x + 3 .
On a : g ( x ) = 3 ( x 2+ 2 x + 1 )
g( x ) = 3 ( x + 1 )² = 3 ( x - ( - 1 ) )²
On trace la courbe ( C ' ) de la fonction g .
Elle s'obtient comme image de la courbe ( C ) de la fonction
x → 3 x 2 par la translation de vecteur: - vect( i )
La courbe ( C ' ) n'admet qu'un seul commun avec l'axe des x .
Son abscisse est - 1.
Conclusion : SIR = { - 1 }
• Pour la fonction h: x → - x 2+ 3 x - 2
On a : h( x ) = - ( x 2 - 3 x + 2 )
c-à-d h( x ) = - ( x 2 - 2 ( 3 / 2 ) x + ( 3 / 2 ) ² - ( 3 / 2 )² + 2 )
c-à-d h( x ) = - [ ( x - ( 3 / 2 ) )² - 9 / 4 + 8 / 4 ]
c-à-d h( x ) = - [ ( x - ( 3 / 2 ) )² - 1 / 4 ]
c-à-d h( x ) = - ( x - ( 3 / 2 ) )² + 1 / 4
On trace la courbe ( C ' ) de la fonction h.
Elle s'obtient comme image de la courbe ( C ) de la fonction
x → - x 2 par la translation de vecteur: 3/ 2 vect( i ) + 1 / 4 vect( j ).
La courbe ( C ' ) coupe l'axe des abscisses en deux points
d'abscisses 1 et 2 .
Conclusion : S = { 1 ; 2 }
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