SPE TES

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♦ EX 3. Déterminer trois réels a , b , c tels que: ( 2 x + 1 ) ( a x ²+ b x + c ) = 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1

pour tout réel x.

Résoudre dans l'ensemble des nombre réels , 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1= 0.

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Réponse:

• Méthode 1 : Par identification.

Soit x réel quelconque.

On a: ( 2 x + 1 ) ( a x ²+ b x + c ) = 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1

c-à-d 2 a x ³+ 2 b x² + 2 c x + a x ²+ b x + c = 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1

c-à-d 2 a x ³ + ( 2 b +a ) x² + ( 2 c + b ) x + c = 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1

pour tout x dans IR.

Par identification: ( des coefficients )

2 a = 4

2 b + a = 2

2 c + b = - 2

c = - 1

Résolvons ce système.

On a : a = 2 c = - 1 b = 0

Conclusion : a = 2 b = 0 c = - 1

• Méthode 2 : La division.

Division par 2 x 1

On a : ( 2 x + 1 ) ( 2 x ² - 1 ) = 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1 pour tout x dans IR.

Conclusion : a = 2 b = 0 c = -1

• Résolution de l'équation 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1 = 0.

On a : 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1 = 0 ssi ( 2 x + 1 ) ( 2 x ² - 1 ) = 0

c-à-d 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1 = 0 ssi 2 x + 1 = 0 ou 2 x ² - 1 = 0

c-à-d 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1 = 0 ssi x = - 1 /2 ou x ² = 1 / 2

c-à-d 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1 = 0 ssi x = - 1 /2 ou x = √( 1 / 2 ) ou x = - √( 1 / 2 )

Conclusion : S = { - 1 /2 ; - √( 1 / 2 ) ; √( 1 / 2 ) }

Remarque : On peut en avoir la confirmation graphiquement en traçant

la courbe de la fonction f :x → 4 x³ + 2 x² - 2 x - 1

Celle-ci coupera trois fois l'axe des abscisses.

Courbe

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♦ EX 4. a. Résoudre chacune des équations suivantes dans l'ensemble des nombre réels:

x ²+ x + 1 = 0 3x ²+ 6x +3 = 0 - x ²+3 x - 2 = 0

b. Représenter soit à l'aide de la calculatrice soit à l'aide GEOGEBRA les courbes des

fonctions: f : x → x ²+ x + 1 h : x → - x ²+3 x - 2

g : x → 3x ²+ 6x +3

Retrouver les ensembles solutions graphiquement.

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Réponse: a. • Résolution de l'équation x ²+ x + 1 = 0 dans IR.

Δ = b² - 4 a c

c-à-d Δ = 1² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = - 3

Donc Δ < 0

Conclusion : S = Ø

• Résolution de l'équation 3x ²+ 6x +3 = 0 dans IR.

L'équation s'écrit : x ²+ 2 x +1 = 0 .

Méthode 1. On a ( x + 1 )² = 0

c-à-d x = - 1

Conclusion : S = { - 1 }

Méthode 2. Δ = b² - 4 a c

c-à-d Δ = 2² - 4 ( 1 ) ( 1 ) = 0

La racine double est: - b / ( 2 a ) = - 2 / 2 = - 1

Conclusion : S = { - 1 }

• Résolution de l'équation - x ²+ 3 x - 2 = 0 dans IR.

Méthode1

La somme des coefficients est nulle: - 1 + 3 - 2 = 0.

Donc 1 est une racine évidente.

L'autre est donc c / a = - 2 / ( -1 ) = 2

Conclusion : S = { 1 ; 2 }

Méthode 2;

Δ = b² - 4 a c

c-à-d Δ = 3² - 4 ( - 1 ) ( ( - 2 ) = 9 - 8 = 1

Donc Δ > 0 .

Les racines distinctes sont:

( - b - √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 - √1 ) / ( - 2 )= - 4 / ( - 2 ) = 2

( - b + √Δ ) / ( 2 a ) = ( - 3 +√1 ) / ( - 2 ) = - 2 / ( - 2 ) = 1

Conclusion : S = { 1 ; 2 }

b. • Pour la fonction f.

Voici sa courbe.

La courbe de f ne rencontre pas l'axe des abscisses.

L'quation f( x ) = 0 n'admet donc pas de solution.

Conclusion : S_IR = Ø

• Pour la fonction g : x → 3 x ²+ 6 x + 3 .

On a : g ( x ) = 3 ( x ²+ 2 x + 1 )

g( x ) = 3 ( x + 1 )² = 3 ( x - ( - 1 ) )²

On trace la courbe ( C ' ) de la fonction g .

Elle s'obtient comme image de la courbe ( C ) de la fonction

x → 3 x ²par la translation de vecteur: - vect( i )

La courbe ( C ' ) n'admet qu'un seul commun avec l'axe des x .

Son abscisse est - 1.

Parabole : y = 3 x² 6 x 3

Conclusion : S_IR = { - 1 }

• Pour la fonction h: x → - x ²+ 3 x - 2

On a : h( x ) = - ( x ² - 3 x + 2 )

c-à-d h( x ) = - ( x ² - 2 ( 3 / 2 ) x + ( 3 / 2 ) ² - ( 3 / 2 )² + 2 )

c-à-d h( x ) = - [ ( x - ( 3 / 2 ) )² - 9 / 4 + 8 / 4 ]

c-à-d h( x ) = - [ ( x - ( 3 / 2 ) )² - 1 / 4 ]

c-à-d h( x ) = - ( x - ( 3 / 2 ) )² + 1 / 4

On trace la courbe ( C ' ) de la fonction h.

Elle s'obtient comme image de la courbe ( C ) de la fonction

x → - x ²par la translation de vecteur: 3/ 2 vect( i ) + 1 / 4 vect( j ).

La courbe ( C ' ) coupe l'axe des abscisses en deux points

d'abscisses 1 et 2 .

Parabole: y = - x² 3 x - 2

Conclusion : S = { 1 ; 2 }

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