LISTE D'EX SUR LES SUITES NUMERIQUES BTS DEC. 08
REVISIONS DE BASE SUR LES SUITES.
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RAPPEL DE COURS n ° 1 ( SUITES GEOMETRIQUES .)
1. Définition.
Une suite ( vn ) définie sur IN est géométrique quand :
Il existe un réel q ( appelé raison ) tel que
vn + 1 = q vn pour tout n dans IN.
( Elle est parfaitement caractérisée par son premier terme et sa raison.)
2. Prop. Si la suite ( vn ) est géométrique de raison q , non nulle ,
et de premier terme v0 alors son terme général est :
vn = v0 qn pour tout n dans IN.
3. Prop.
Soit ( vn ) une suite géométrique de raison q définie sur IN.
• v0 + v1 + .........+ vn = ( n + 1 ) v0 si q = 1.
• v0 + v1 + .........+ vn = v0 ( 1 - qn + 1 ) / ( 1 - q ) si q ≠ 1
4. Prop.
Soit q un réel . Soit n dans IN.
•Si I q I < 1 alors qn tend vers 0 quand n tend vers +∞ .
• Si q > 1 alors alors qn tend vers +∞ quand n tend vers +∞ .
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TRAVAIL A REALISER
EX.1 Soit la suite numérique définie sur IN par :
u 0 = - 4
un + 1 = ( 1 / 4 ) un + 3 pour tout n dans IN.
1. Calculer les termes u1 , u 2 , u3 .
2 . On pose : vn = un - 4
a. Exprimer vn + 1 en fonction de vn .
b. En déduire la nature de la suite ( vn ).
c. Exprimer vn en fonction de n.
En déduire un en fonction de n.
3. Déterminer la limite de la suite ( vn ).
En déduire la limite de la suite ( un ) .
4. Calculer la somme v0 + v1 + ..... + vn .
5 . Calculer la somme u0 + u1 + ......... + un .
RAPPEL DE COURS n ° 2 ( SUITES ARITHMETIQUES )
1. Définition.
Une suite ( un ) définie sur IN est arithmétique quand :
Il existe un réel r ( appelé raison ) tel que
un + 1 = un + r pour tout n dans IN.
( Elle est parfaitement caractérisée par son premier terme et sa raison.)
2. Prop. Si la suite ( un ) est arithmétique deraison r
et de premier terme u0 alors son terme général est : un = u0 + n r pour tout n dans IN. 3. Prop. Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r définie sur IN. u0 + u1 + .........+ un = ( ( u0 + un ) / 2 ) ( n + 1 ) 4. Prop.
Soit ( un ) une suite arithmétique de raison r définie sur IN.
Si r > 0 alors un tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Si r < 0 alors un tend vers - ∞ quand n tend vers +∞.
TRAVAIL A REALISER
EX.1
Soit ( vn ) une suite géométrique de raison 0,98
et de premier terme v0 = 2 .
On pose un = ln vn pour tout n dans IN .
1. Quelle est la nature de la suite ( un ) ?
2. La suite ( vn ) admet-elle une limite ?
La suite ( un ) admet-elle une limite?
3. Trouver le plus petit entier n tel que vn < 1
RAPPEL DE COURS n° 3 ( GENERALITES ) 1. Définition. Soit la suite ( vn ) définie dans IN. • Elle est croissante sur IN ssi vn =< vn + 1 pour tout n dans IN. • Elle est décroissante sur IN ssi vn >= vn + 1 pour tout n dans IN.
2.Définition. Soit la suite ( vn ) définie dans IN. • Elle est majorée sur IN ssi il existe un réel M tel que vn =< M pour tout n dans IN. • Elle est minorée sur IN ssi il existe un réel m tel que m =< vn pour tout n dans IN.
3. PROP. Toute suite croissante et majorée converge c-à-d admet une limite finie. Toute suite décroissante et minorée converge .
EX. 3 Soit la suite de terme général un = ( n + 1 ) e- n
pour tout n dans IN.
1. Donner le sens de variation de la ( un ) .
2. La suite ( un ) est-elle minorée?
3. La suite ( un ) est-elle convergente?
( c-à-d admet-elle une limite finie?)
Trouver sa limite.
RAPPEL DE COURS n° 4.
1. Prop. Soit α > 0 . Alors:
• nα tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ .
• 1 / nα tend vers 0 quand n tend vers + ∞ .
2 . Définition. Une suite divergente est une suite
qui n'a pas de limite ou admet une limite infinie.
TRAVAIL A REALISER