INFO EX4 SUJET COMMUN 1S

                    INFO  EX 4           SUJET  COMMUN  1S          2 avril 2010         2 heures  

       EXERCICE  4       

                           Le plan est muni d'un repère orthonormal direct ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).

                           Soit  les points A( - 1 ; 0 ) et B( 4 ; 0 ).

                           C désigne un point quelconque du plan non situé sur la droite ( AB ).

                           M désigne un point quelconque du plan.

                           On note H le point de la droite ( AB ) qui vérifie  vect( AH ). vect( AB)  = - 10  .

  1. a.  Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ?

          De sens contraires?

             Comme le produit scalaire    vect(AH). vect(AB) < 0   les deux vecteurs

            colinéaires vect( AH ) et vec( AB) sont de sens contraires.  

            Conclusion:  Les vecteurs   vect( AH ) et vec( AB) sont colinéaires    

                      sens contraires.                  

       b. Que vaut la distance AB?

                  On a  le vect( AB )  de cordonnées ( 5 ; 0 ).

                  Ainsi:   AB = √( 5² + 0² ) = 5

                 Conclusion:       AB = 5          

            Que vaut la distance AH ? Faire une figure en plaçant le point H.

              Comme les vecteurs    vect( AH ) et  vec( AB )  sont colinéaires et

             de sens contraires

              vect( AH ). vect( AB ) = - AH ×AB    .

              Ainsi l'égalité      vect( AH ). vect( AB ) = - 10     s'écrit     - AH × AB  = - 10

              c-à-d       AH = 10 / AB 

              c-à-d      AH = 2          sachant        AB = 5.

                Conclusion:         AH = 2  

      c. Faire une figure en plaçant le point H.

             On a: 

                                

                          

     2. Quel est l'ensemble ( Γ ) des points M du plan tels que  vect( HM) . vect(AB ) = 0 ?

         Tracer (  Γ ).

        L'égalité  vect( HM ) . vect( AB ) = 0   traduit l'orthogonalité des vecteurs  vect ( HM )

         et vect( AB ).

        Conclusion:      L'ensemble ( Γ )  n'est autre que la droite passant par le point H 

                                       et orthogonale  à la droite ( AB ).  

                  Représentation de    ( Γ )  : 

                                                    

     3. Comparer les réels   vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB)  et    vect ( AM ) . vect( AB ) .

                   Ils sont égaux. 

         En effet:  

         vect( AH ) . vect( AB ) + vect( HM ) . vect ( AB )  = (   vect( AH ) + vect( HM )  ) . vect( AB )

          c-à-d 

            vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB)   =  vect( AM ) . vect( AB )

          4. Etablir que vect( AM ) . vect( AB) = - 10  équivaut à  vect( HM ) . vect( AB) = 0.

              On a  vu :    vect( AH ) . vect( AB)   + vect( HM ) . vect ( AB)   =   vect( AM ) . vect( AB )

              Mais vect( AH ) . vect ( AB) = - 10   d'après l'énoncé . 

              Donc   on a l'égalité    - 10   + vect( HM ) . vect ( AB)    =  vect( AM ) . vect( AB )

            Ainsi :                  vect( HM ) . vect ( AB)   =   0        ssi         - 10   +    0    =  vect( AM ) . vect( AB )

                c-à-d                  vect( HM ) . vect ( AB)   =   0      ssi    vect( AM ) . vect( AB ) = - 10

              Conclusion:  vect( AM ) . vect( AB) = - 10  équivaut à  vect( HM ) . vect( AB) = 0.  

                Quel est l' ensemble des point M du plan tels que   vect( AM ) . vect( AB) = - 10  ?

                L'ensemble des points M du plan tels  que  vect( AM ) . vect( AB) = - 10 

                est ainsi  l'ensemble des points M du plan tels  que   vect( HM ) . vet( AB) = 0.

                  Conclusion:        l' ensemble des point M du plan tels que   vect( AM ) . vect( AB) = - 10   

                                              est  ( Γ )   . 

         5. On note I le milieu du segment [ BC ] et G l'isobarycentre des points A , B ,C .

           a. Réduire les vecteurs  vect ( MA ) + vect( MB ) + vect MC )   et  vect( MB ) + vect MC ) .

                Comme G est l'isobarycentre des points A ,B ,C  on a d'après la prop. fondamentale:

                    vect ( MA ) + vect( MB ) + vect MC ) =  3 vect ( MG )

                 Comme I est l'isobarycentre des points B ,C  on a d'après la prop. fondamentale:

                             vect( MB ) + vect MC ) = 2 vect ( MI )                      

                      Conclusion:    vect ( MA ) + vect( MB ) + vect MC ) =  3 vect ( MG )         

                                   vect( MB ) + vect MC ) =  2 vect ( MI )              

              b.  Trouver l'ensemble ( W ) des points M du plan tels que:

                       (  vect( MB ) + vect MC )  ) .  vect ( MA ) = 0

                      Cette égalité s'écrit :      2 vect ( MI ) . vect ( MA ) = 0

                        c-à-d           vect ( MI ) . vect ( MA ) = 0    

                          Conclusion:  L'ensemble ( W ) est le cercle de diamètre [ I A ] .       

           c.  Trouver l'ensemble ( L ) des points M du plan tels que :

                         3 × || vect( MB ) + vect MC )  ||  =    2 × ||    vect ( MA ) + vect( MB ) + vect MC )  ||

                          Cette égalité s'écrit :  

                         3  ×  ||  2 vect ( MI ) ||   =    2 × ||  3 vect MG ) || 

                              c-à-d        3  ×  2   ×   || vect ( MI ) ||   =    2 ×  3   ×  || vect MG ) || 

                                  c-à-d                      MI = MG

                            Conclusion:  L'ensemble ( L ) est  la  médiatrice du segment [ IG] .

                d. Représentons ( L ).

                        ( L )  est la droite perpendiculaire au segment [IG]

                                et qui passe par le milieu du segment [IG]

                                

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