INFO LISTE 4 EX 6 DERIV 1S

INFO .  LISTE 4     EX.6            DERIVATION.       1S       DEC. 08


          EX. 6       Donner  les domaines de définition , dérivabilité   

                        de la fonction  h et la fonction dérivée h '.

                        h : x →  ( - x² + 5 x + 2 ) / ( x2 + 3 x + 2 )


  REP.             1 x2 + 3 x + 2 = 0    admet  - 1  comme racine évidente .

                         En effet:      ( - 1)2 + 3 ( - 1 ) + 2 = 0   

           (  On pouvait aussi dire : La somme des coefficient des termes de rang pair

                        est égale à la somme des coefficient des termes de rang impair.

             c-à-d   ici      1 + 2 =   )

                        L'autre racine est donc    - c / a  = - 2 / 1  = - 2

                       Ainsi la fonction rationnelle h est définie dans  IR - { - 1 ;  - 2 }.

                       Elle est donc dérivable aussi dans IR - { - 1 ;  - 2 }. 

        (    Une fonction rationnelle est  un  quotient de deux fonctions polynômes.

            Toute fonction rationnelle est dérivable dans son domaine de définition. )       

             Par division on obtient  h( x ) = - 1  +   4 (  (  2 x +1 ) / ( x2 + 3 x + 2  )

             pour tout x  dans  IR - { - 1 ;  - 2 }.

            Cela permet de dériver plus facilement. ( Ce n'est pas obligatoire.)

              Soit les fonctions  u : x → 2 x +1       et   v : x → x2 + 3 x + 2 .

              h = - 1 + 4 ( u / v ) 

             Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR .

             u ' : x → 2      et  v ' : x→ 2 x + 3 .

              v est non nulle dans  IR - { - 1 ;  - 2 }.

             La fonction  u / v  est définie et dérivable dans  IR - { - 1 ;  - 2 }.

             Il en est de même pour la fonction  - 1 + 4 ( u / v ) c-à-d pour h .

             On a : h ' = 4 ( u / v ) ' = 4  ( v u ' - u v ' ) / v²

             Soit x dans  IR - { - 1 ;  - 2 }.

             On a :  h '( x ) = 4 ( ( x2 + 3 x + 2 ) ( 2 ) - (  2 x +1 ) ( 2 x + 3 )  ) / (  x2 + 3 x + 2 )²

             c-à-d    h '(x) = 4 (  -  2 x² - 2 x + 1 ) / (  x2 + 3 x + 2 )²

              Conclusion:       Dh = IR - { - 1 ;  - 2 }        Dd = IR - { - 1 ;  - 2 } 

                                         h ' : x →  4 ( - 2 x² - 2 x + 1 ) / (  x2 + 3 x + 2 )²