INFO TEST n°2 BTS 1 A 17 février 2016

                                   INFO  TEST n°2    BTS 1 A      Matrices et systèmes   17 février 2016

         EXERCICE 1

               1. Résoudre dans IR3 le système linéaire:

                             x − 2 y −  z = 0            L1

                                     y  + z = 1            L2

                                        − z = 1             L3

             REPONSE :

          • Première possibilité:

           On profite du fait que le système est triangulaire.

            En partant de la dernière équation on remonte le système

            en trouvant successivement z puis y et enfin x.

                        L donne   z = −  1

             Puis   L2  donne   y = 1 −  z = 1 + 1 = 2

             Enfin   L donne   x = 2 y + z = 4 − 1 = 3

            Conclusion :    S = { ( 3 ;  2  ; − 1  )}

       • Autre possibilité:

               Sous forme matricielle le système s'écrit :

                  Rtia14

                     c-à-d    comme A est inversible   X = A − 1 x B

                     c-à-d   avec la calculatrice :

                                    Sulez45

                   Conclusion :    S = { ( 3 ;  2  ; − 1  )} 

           2. Soit les matrices :

                          Xeud24

            Résoudre dans IR3 le système linéaire:                         

               Semi4

             REPONSE :

                   A étant inversible.

                On a :

                    48ram

                 c-à-d avec la calculatrice :

                         Sulez45

                     Conclusion :    S = { ( 3 ;  2  ; − 1  )} 

         3.  Soit les matrices : 

                        Ennod465

             Résoudre dans IR3 le système linéaire:  

          Aupour43

             REPONSE:

          Comme la matrice C est inversible :

                      Qesqu49

           c-à-d

                      Sulez45

               Conclusion :    S = { ( 3 ;  2  ; − 1  )}  

          4. Calculer A2 et A − I  avec   

                                      Etuni4

               REPONSE:

                 Avec la calculatrice:

                  Premp681        

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       EXERCICE 2

           Soit la parabole P d'équation y = a x2 + b x + c

           dans le plan muni d'un repère orthonormal.

           P passe par les points A( 1 ; 6 )   , B ( − 1 ; 2 )  , C( 2 ; 17 ).

            1. Traduire par un système linéaire à trois inconnues a , b , c

                 les informations de l'énoncé.

                 REPONSE:

   On a comme A est sur P:      a x 1+ b x 1 + c = 6  

                                      c-à-d        a + b + c = 6

   On a comme B est sur P:      a ( − 1 )+ b x ( − 1 ) + c = 2   

                                     c-à-d     a  − b + c = 2

   On a comme C est sur P :      a x 2 + b x 2 + c = 17   

                                   c-à-d         4 a + 2 b + c = 17

                  Conclusion :

                        a + b +  c = 6

                       a − b + c = 2

                       4 a + 2 b + c = 17

     2. Résoudre ce système dans IR3 .

                 Préciser l'équation de P.

         REPONSE:

                Le système s'écrit :

                        Rtia14 2

             c-à-d  comme la matrice A est inversible:

                            48ram 2

                                         c-à-d   

          Sulez45 1

          Conclusion:      a = 3         b = 2        c = 1

                                 y = 3 x2 + 2 x + 1

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         EXERCICE 3

         Soit A une matrice carrée d'ordre 3  telle que : A2 = A + 2  I    avec: 

         Etuni4     

       1. En fonction de A trouver une matrice carrée A ' telle que  A x A ' = I  .

             REPONSE:

            A2 = A + 2 I   s'écrit  A2 − A = 2  I

             c-à-d

                 A x 0,5 ( A − I ) = I

             On a    A ' = 0,5 ( A − I )   qui convient

            Conclusion:     A ' = 0,5 ( A − I )

       2. On admet que :

                Px4am56

         Trouver A.

             REPONSE:

            Comme A x A ' = I  on a A ' = A−1 .

            Donc A est l'inverse de A ' .

             A = A '  −1

             Avec la calculatrice:

            Conclusion: 

                          Lokacoi49

      3. Résoudre le système linéaire dans IR3 .

                   26gamp57ty89

                REPONSE:

            Comme la matrice A est inversible on a :

                     He48de4oi9

            c-à-d   

                    22anir78    

          c-à-d    avec la calculatrice:

                                         26gamp57ty89 1 

               Conclusion :    S = { ( 3 ;  2  ; − 1  )}  

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