INFO TEST n°2 BTS 1 A Matrices et systèmes 17 février 2016
EXERCICE 1
1. Résoudre dans IR3 le système linéaire:
x − 2 y − z = 0 L1
y + z = 1 L2
− z = 1 L3
REPONSE :
• Première possibilité:
On profite du fait que le système est triangulaire.
En partant de la dernière équation on remonte le système
en trouvant successivement z puis y et enfin x.
L3 donne z = − 1
Puis L2 donne y = 1 − z = 1 + 1 = 2
Enfin L1 donne x = 2 y + z = 4 − 1 = 3
Conclusion : S = { ( 3 ; 2 ; − 1 )}
• Autre possibilité:
Sous forme matricielle le système s'écrit :
c-à-d comme A est inversible X = A − 1 x B
c-à-d avec la calculatrice :
Conclusion : S = { ( 3 ; 2 ; − 1 )}
2. Soit les matrices :
Résoudre dans IR3 le système linéaire:
REPONSE :
A étant inversible.
On a :
c-à-d avec la calculatrice :
Conclusion : S = { ( 3 ; 2 ; − 1 )}
3. Soit les matrices :
Résoudre dans IR3 le système linéaire:
REPONSE:
Comme la matrice C est inversible :
c-à-d
Conclusion : S = { ( 3 ; 2 ; − 1 )}
4. Calculer A2 et A − I avec
REPONSE:
Avec la calculatrice:
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EXERCICE 2
Soit la parabole P d'équation y = a x2 + b x + c
dans le plan muni d'un repère orthonormal.
P passe par les points A( 1 ; 6 ) , B ( − 1 ; 2 ) , C( 2 ; 17 ).
1. Traduire par un système linéaire à trois inconnues a , b , c
les informations de l'énoncé.
REPONSE:
On a comme A est sur P: a x 12 + b x 1 + c = 6
c-à-d a + b + c = 6
On a comme B est sur P: a ( − 1 )2 + b x ( − 1 ) + c = 2
c-à-d a − b + c = 2
On a comme C est sur P : a x 2 2 + b x 2 + c = 17
c-à-d 4 a + 2 b + c = 17
Conclusion :
a + b + c = 6
a − b + c = 2
4 a + 2 b + c = 17
2. Résoudre ce système dans IR3 .
Préciser l'équation de P.
REPONSE:
Le système s'écrit :
c-à-d comme la matrice A est inversible:
c-à-d
Conclusion: a = 3 b = 2 c = 1
y = 3 x2 + 2 x + 1
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EXERCICE 3
Soit A une matrice carrée d'ordre 3 telle que : A2 = A + 2 I avec:
1. En fonction de A trouver une matrice carrée A ' telle que A x A ' = I .
REPONSE:
A2 = A + 2 I s'écrit A2 − A = 2 I
c-à-d
A x 0,5 ( A − I ) = I
On a A ' = 0,5 ( A − I ) qui convient
Conclusion: A ' = 0,5 ( A − I )
2. On admet que :
Trouver A.
REPONSE:
Comme A x A ' = I on a A ' = A−1 .
Donc A est l'inverse de A ' .
A = A ' −1
Avec la calculatrice:
Conclusion:
3. Résoudre le système linéaire dans IR3 .
REPONSE:
Comme la matrice A est inversible on a :
c-à-d
c-à-d avec la calculatrice:
Conclusion : S = { ( 3 ; 2 ; − 1 )}
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