INFO EX 2 DS6 1S1 14 /2/ 09

                                                                                                    

¤     INFO    DS  n° 6          1S1          du 14 février 2009 ¤ 

   EXERCICE 2                5 POINTS

         1. a. Figure.                                                                  

   

         

 

 

                 ABC est un triangle équilatéral direct. ADEB est un carré direct.

             b.    ¤ Cherchons la mesure principale de l'angle orienté ( vect( DE) , vect( CA) ).

                • Comme on a ADEB qui est un carré :   vect( DE ) = vect ( AB )

                 Ainsi :          ( vect( DE) , vectCA) ) =  ( vect( AB ) , vect(CA) )   [ 2 π ].

                 c-à-d           ( vect( DE) , vectCA) ) =  ( vect( AB ) , - vect( AC ) )   [ 2 π ]

                 c-à-d         ( vect( DE) , vectCA) ) = ± π   + ( vect( AB ) ,  vect( AC ) )   [ 2 π ] .

                 • Comme le triangle ABC est équilatéral direct on a :

                                      ( vect( AB ) ,  vect( AC ) ) =   π / 3    [ 2 π ]  . 

                  • On a donc :    ( vect( DE) , vectCA) ) = ± π   + π / 3    [ 2 π ] .

               Nôtre intérêt comme on veut une mesure dans l'intervalle ] - π , π ] est pour ± π  de prendre - π .

                Ainsi : ( vect( DE) , vectCA) ) = - π   + π / 3    [ 2 π ]

               c-à-d       ( vect( DE) , vectCA) ) = - 2 π / 3    [ 2 π ]

              Conclusion : La mesure principale de l'angle orienté ( vect( DE) , vect( CA) )

                                 est    -  2 π / 3   radians.     ( ELLE  EST UNIQUE )

             ¤ Cherchons la mesure principale de l'angle orienté ( vect( EB) , vect( BC) ).

                  On a :     ( vect( EB) , vect( BC) ) = ( - vect( BE) , vect( BC) )   [ 2 π ] . 

                  c-à-d     ( vect( EB) , vect( BC) ) =  ± π  + ( vect( BE ) , vect( BC) )   [ 2 π ] . 

        or    ( vect( BE) , vect( BC) ) = ( vect( BE) , vect( BA ) )+ ( vect( BA ) , vect( BC) )  d'près Chasles

   Ainsi :   ( vect( EB) , vect( BC) ) =  ± π  +  ( vect( BE) , vect( BA ) ) + ( vect( BA ) , vect( BC) )   [ 2 π ] . 

  c-à-d     ( vect( EB) , vect( BC) ) =  ± π  - ( π / 2  )  - ( π / 3  )    [ 2 π ]

 Prenons π    pour  ± π puisqu'on veut obtenir la mesure principale de l'angle  ( vect( EB) , vect( BC) )

   Il vient :           ( vect( EB) , vect( BC) ) =  π  - ( π / 2  )  - (    π / 3  )    [ 2 π ]

        c-à-d      ( vect( EB) , vect( BC) ) =  (  6 - 3 - 2 ) π / 6   [ 2 π ]

        c-à-d      ( vect( EB) , vect( BC) ) =   π / 6   [ 2 π ]

           Conclusion : La mesure principale de l'angle orienté ( vect( EB) , vect( BC) )   est

                                 π / 6   radians. 

       2.  Soit    cos a = 1 / 3   avec a dans l'intervalle ]  π ,  3π / 2 [.

             Trouvons sin a.

            • Comme a est dans l'intervalle  ]  π ,  3π / 2 [  on sait déjà que sin a < 0. 

             • On sait que     sin² a + cos² a = 1.

             Donc              sin² a = 1 - cos² a  .  (  On transpose cos² a )

              Or   cos a  = 1 / 3

              D'où    sin² a = 1 - ( 1 / 3 )² .

              c-à- d     sin² a = 1 - ( 1 / 9  ) = ( 9 - 1 ) / 9    .

               c-à- d     sin² a = 8 / 9.

          Comme   sin a < 0   on en déduit que  sin a  = - √( 8 / 9 ) .

       Conclusion :    sin a  = - √( 8 / 9 )

        3. Calculons f(x )= sin ( π / 2 - x ) + cos ( π + x ) + cos( π  - x ) + cos( - x )   où x est un réel.

            On a :  f( x )  = cos x   - cos x  - cos x  + cos x

                 à l'aide de quatre formules trigo. 

                     sin ( π / 2 - x ) =cos x 

                      cos ( π + x ) = - cos x          

                     cos( π  - x ) = - cos x 

                   cos( - x ) = cos x

        Conclusion :  f( x ) = 0 pour tout réel x.

         4. Donnons la mesure principale de l'angle orienté dont une mesure est   11 π / 3  radians.

       On a :     11π / 3 = ( 12π / 3  ) - ( π / 3  )

            c-à-d     11π / 3 = 2× 2 π  - ( π / 3  )

            Donc  11π / 3 = -  π / 3  [ 2  π ]

                avec  -  π / 3  dans l'intervalle ] -   π , π ].

        Conclusion : la mesure principale de l'angle considéré est  -  π / 3    radians.