INFO EXERCICE SUR LES SUITES

                         INFO     EXERCICE       SUR LES SUITES                    MAI 2013

            EXERCICE :

                Soit L  un réel  et ( un ) une suite définie sur IN,  à termes tous strictement positifs.

                On suppose que la suite ( un )  converge vers L.

                Pour chacune des affirmations suivantes dire si elle est vraie ou si elle est fausse.

                On donnera un contre exemple dans le cas où l'affirmation est fausse.

                On prouvera l'affirmation si elle est vraie.

                ( On rappelle que n! = 1 ×  .... × n    si n est un entier naturel non nul et 0! = 1 )

                1. Affirmation. " L est stictement positif "                                                  NON.

                        Contre exemple: 

                               Soit  la suite (  un )   de terme général     un = 1 / ( n + 1 )

                               on a :          un    > 0   pour tout n dans IN

                                                    Or    lim    un   = 0

                                                            n  + ∞

                                Ainsi :          L = 0

                                            On n'a pas L  > 0

                2. Affirmation. " La suite ( ln(u) ) converge vers ln( L ).                       NON

                                Contre exemple:

                                       Reprenons la suite (   un ) précédente.       L = 0

                                       ln(  un ) = = -  ln ( n + 1 )                                     

                                       On a :           lim   ln( un )  = - ∞

                                                            n → + ∞

                                      Or  ln ( L )  n'existe pas car ln non définie en 0.

                           Donc:  la suite    (  ln( un )) ne converge pas vers ln( L )

             3. Affirmation.  " Il existe un entier naturel p tel que L soit une valeur approchée de u à 10 - 3  "     OUI

                             On sait par hypothèse :

                                                  La suite (  un  )  converge vers L 

                             c-à-d      Pour tout α > 0  il existe un rang p  à partir duquel tous les termes

                                             de la suites sont dans l'intervalle ] L - α , L +  α [

                            c-à-d      Pour tout α > 0  il existe  p dans IN tel que pour tout n  dans IN ,

                                              si   n ≥ p  alors    L - α   <   un   < L +  α

                          Prenons       α =  10 - 3                   

                                         il existe  p dans IN tel que pour tout n  dans IN ,

                                            si   n ≥ p  alors   L - 10 - 3     <   un   < L +  10 - 3 

                           Prenons n = p

                                   On peut dire:    il existe  p dans IN tel que       L -  10 - 3     <   up   <  L  + 10 - 3  

                                   Donc :          il existe  p dans IN tel que        up   ≈   L          à  10 - 3   près

   4. Affirmation.

                     " Dans le cas où   u =  1 + 1 / 2 !  + .......+  1 / ( n + 1 )!   et    vn   = un +  1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]

                              les suites ( un ) et ( vn ) sont adjacentes ."                                               OUI

        •  vn   - un    =  1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]        pour tout n dans IN

              Donc :

                                    lim (  vn   - un   )  =   0

                                    n + ∞

      •   un + 1 - u = 1 + 1 / 2 !  + .......+  1 / ( n + 1 )!  - [ 1 + 1 / 2 !  + ....... +  1 / ( n + 1 )! + 1 / ( n+2 ) !  ] =  1 / ( n+2 ) !

          Pour tout n dans IN    un + 1 - u ≥ 0

           La suite ( un  ) est croissante sur IN.

       •   vn + 1 - vn    =  un + 1    +   1 / [  ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] - [  un    +  1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]   ]

              c-à-d

         vn + 1 - vn    =  un + 1  -  un  +  1 / [  ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] -   1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]   ]

           c-à-d

            vn + 1 - vn    = 1 / ( n+2 ) !  +   1 / [  ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] -   1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]   ]

        c-à-d 

                vn + 1 - vn    = [  n + 2 + 1 ] /  [  ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] -   1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]   ] 

        c-à-d

             vn + 1 - vn    = (  n + 3 ) /  [  ( n + 2 ) ! × ( n + 2) ] -   1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]   ]

           c-à-d 

              vn + 1 - vn    = (  n + 3 ) /  [  ( n + 1 ) ! × ( n+ 2 )2  ] -   1 / [  ( n + 1 ) ! × ( n + 1 ) ]   ]

             c-à-d 

            vn + 1 - vn    = [(  n + 3 )( n + 1) - ( n + 2 )2   ] /  [  ( n + 1 ) ! × ( n + 2)× ( n+1) ] 

            vn + 1 - vn   = - 1  /  [  ( n + 1 ) ! × ( n + 2)× ( n+1) ]

               On a :      vn + 1 - vn  ≤ 0   pour tout n dan s IN

              La suite ( vn )  est décroissante sur IN

                 Donc les deux suites sont bien adjacentes.

                 ( ainsi elles convergent et ont la même limite finie )

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