Question posée par un élève Lundi 15 novembre 2010
Soient a , b , c des entiers naturels non nuls.
La division de a par b s'écrit: a = b q + r avec 0 ≤ r < b
La division de q par c s'écrit : q = c q ' + r ' avec 0 ≤ r' < c
Par substitution a = b ( c q ' + r ' ) + r
c-à-d a =( bc ) q ' + ( b r ' + r )
A-t-on 0 ≤ b r ' + r < bc ?
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Réponse : OUI. En effet.
1. Déjà on a l'inégalité triviale : 0 ≤ b r ' + r
car b , r , r ' sont des entiers naturels.
2 . Pour avoir b r ' + r < bc
Il suffit de montrer que r < bc - b r '
c-à-d r < b ( c - r ' )
Montrons le:
On sait que r' < c
Donc déjà c - r ' > 0
c-à-d c - r ' est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
de plus b est un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Quand on multiplie l'entier naturel ( non nul ) b par un entier naturel
non nul c - r ' on obtient un entier naturel supérieur ou égal à b.
Donc on a : b ≤ b ( c - r ' )
Mais on sait que 0 ≤ r < b
D'où 0 ≤ r < b ≤ b ( c - r ' )
On obtient la condition suffisante: r < b ( c - r ' )
Conclusion : OUI On a bien: 0 ≤ b r ' + r < bc