INFO1 DV n° 4 6 janv. 10 1S

           INFO1   DV n° 4         1S1                  06  /  01  / 10

              EXERCICE 33 

         Calcul de cos α  sachant sin α = - 0, 4 dans chacun des cas

         a. Soit α dans [ - Π  ,  - Π / 2 ].

         b.   Soit α dans [ - Π / 2  ,   0 ].   

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  Réponse: 

            On sait que  cos²α  + sin² α = 1    ( Formule de trigo )

            Donc :     cos²α  = -  sin² α  +  1 

            Ici cela donne:       cos²α  = -  ( - 0,4 )²   +  1  = 0,84

            Donc deux cas:

                              cos α  =  √ 0,84     si  cos α  ≥ 0

                              cos α  =  - √ 0,84     si  cos α  ≤  0

              a. Comme α dans [ - Π  ,  - Π / 2 ]  on a  cos α  ≤  0.

                Ainsi:      cos α  =  - √ 0,84  = - 0,92

                Conclusion:  cos α  = - √ 0,84  

                b. Comme α dans [ - Π / 2   ,  0 ]  on a  cos α    ≥ 0.

                Ainsi:      cos α  =  √ 0,84  =  0,92

                Conclusion:  cos α  = √ 0,84  

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          EXERCICE 32  

                     Soit :     f( t ) = cos ( t +  Π ) - sin( t +  Π / 2 ) + 2 cos t 

                                    pour tout réel t.

    1. Calculer f( 0 ) , f( Π / 2 ) , f(  Π ) .

    2. Simplifier f( t ) pour tout réel t.

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 Réponse:

       1. • On a :   f(0) = cos Π  -  sin( Π / 2 ) + 2 cos 0  = - 1 -  1 + 2 ×  = 0 

                          Conclusion:  f( 0 ) = 0

          • On a :     f( Π / 2 ) =  cos ( Π / 2 +  Π ) - sin( Π / 2 +  Π / 2 ) + 2 cos (Π / 2  )

            c-à-d      f( Π / 2 ) =  cos (3 Π / 2 ) - sin (Π )  + 2 cos( Π / 2 )

            c-à-d       f( Π / 2 ) =  0 - 0 + 2 × 0 = 0

                       Conclusion:  f(  Π / 2 ) = 0

         • On a :     f( Π  ) = cos (  Π  +  Π)- sin( Π +  Π / 2 ) + 2 cos Π

            c-à-d      f( Π  ) = cos ( 2 Π ) - sin (3 Π / 2) + 2 cos Π

            c-à-d      f( Π  ) = 1 - ( - 1 ) + 2 ( - 1 ) = 2 - 2 = 0

                Conclusion:    f(  Π ) = 0

        2. On a :   f( t ) = 0 pour tout réel t.

               En effet :

      On a          f( t ) = cos ( t +  Π ) - sin( t +  Π / 2 ) + 2 cos t 

      c-à-d          f( t ) = - cos t - cos t + 2 cos t = 0

         à l'aide de deux formules trigo.

                             cos (  Π + t ) =  - cos t

                             sin(  Π / 2 + t ) = cos t

                    Conclusion:  f( t ) = 0 pour tout réel t.

        Ce résultat justifie une seconde fois les résultats de la question 1.

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         EXERCICE 33

                             Soit t un réel quelconque.

                             Simplifier les expressions:

         a.       cos( t +  Π ) + cos(  Π - t ) + sin( t +  Π / 2 )

         b.       sin(  Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin(  Π - t ) + cos( t -  Π / 2 )

         c.        cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4  Π ) + sin( t +  Π / 2 )

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 Réponse:

     a. On a:

  cos( t +  Π ) + cos(  Π - t ) + sin( t +  Π / 2 ) = - cos t - cos t  + cos t

    Ainsi:

   Conclusion :  cos( t +  Π ) + cos(  Π - t ) + sin( t +  Π / 2 ) = - cos t

        b.   On a:

  sin(  Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin(  Π - t ) + cos( t -  Π / 2 ) = cos t - cos t  + sin t  + cos( Π / 2 - t )

 c-à-d                                         ( La fonction cos étant  paire )

   sin(  Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin(  Π - t ) + cos( t -  Π / 2 ) = sin t + sin t

   Ainsi:

   Conclusion : sin(  Π / 2 - t ) - cos( - t ) + sin(  Π - t ) + cos( t -  Π / 2 ) = 2 sin t 

     c.   On a :

   cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4  Π ) + sin( t +  Π / 2 )  =  cos( 2 Π +Π + t ) - cos t + cos t 

c-à-d

   cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4  Π ) + sin( t +  Π / 2 )  =  cos( Π + t ) 

c-à-d

  cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4  Π ) + sin( t +  Π / 2 )  =  - cos t 

   Conclusion : cos( 3 Π + t ) - cos( t + 4  Π ) + sin( t +  Π / 2 )  =  - cos t  

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                EXERCICE 34

              Soit   a = sin Π / 7 .

              Exprimer    sin( -  Π / 7  )  ,  sin( 8 Π / 7 )   , cos (  5 Π / 14 )

              en fonction de a .

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     Réponse:

                          •   sin( -  Π / 7  ) = - sin(  Π / 7  ) = - a

                           •   sin( 8 Π / 7 ) = sin(  Π + Π / 7 ) = - sin( Π / 7 ) =  - a

                          •   cos (  5 Π / 14 ) = cos (  Π / 2 -  Π / 7 ) = sin ( Π / 7) =    a

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