EXERCICE N°47 pour le 16/04/10

      EXERCICES n° 47                 POUR LE VENDREDI 16/04/10                     1S1

      •   EXERCICE 47

               Soit la fonction f : x → ( x + 3  )² définie sur IR .

             1. Déterminer le sens de variation de f.

             2. Soit la suite ( u ) définie sur IN par :                      

                  un =  f( n ) pour tout n dans IN.

                  Montrer que la suite ( u ) est croissante sur IN.

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    Réponse/

            On a :    f :  x →  ( x + 3  )² .

             Plusieurs méthodes possibles:

             Méthode 1

                 f :  x →  x² + 6 x + 9 .  

                   a = 1      b = 6    c = 9   

              Donc   a > 0  et    - b /( 2a ) = - 6 / 2 = - 3  

              D'après le cours  , sur l'intervalle [ - b /( 2a )   , + ∞ [

               la fonction f est croissante .

             Sur l'intervalle ] -  ∞ , - b / ( 2 a ) ]   la fonction f est décroissante .

                     Conclusion:   f est croissante  sur l'intervalle    [ - 3 , +  ∞ [  .

                               f est décroissante  sur l'intervalle    ]- ∞ , - 3 ]  . 

     

   Méthode 2. ( Plus longue  )

 

              Soit  la fonction u : x  →   x + 3  .

              u est définie et dérivable dans IR.

                u ' : x  →   1

             Or :     f  = u ²

             f est donc  définie et dérivable dans IR.

            On a :    f ' = 2 u u ' 

           f '   : x  →  2 ( x + 3 ) 1

            f '  ( x ) est du signe x + 3  pour tout x dans IR.

           Donc:

                 f ' ≥ 0   sur [ - 3 , +  ∞ [    

                  f '  ≤ 0   sur  ] - ∞, - 3 ]    

            Conclusion:   f est croissante  sur l'intervalle    [ - 3 , +  ∞ [  .

                  f est décroissante  sur l'intervalle    ]- ∞ , - 3 ]  . 

             2. Donnons le sens de variation de la suite ( u ).

              IN est inclus dans l'intervalle [ - 3 , +  ∞ [    sur lequel f est croissante.

              La restriction de f à IN est donc croissante sur IN.

              Conclusion:  La suite ( u ) est croissante sur IN.