INFO TEST COURS Tertiaire

        INFO       NOM :   .........            PRENOM: ...........          CLASSE: .............                 DATE : .................

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     I. COURS.

         •  Quel est le domaine de définition de la fonction ln  ?   ] 0 , + ∞ [

         •  Que vaut  ln ( 1 ) ?     0

          • La fonction ln est-elle dérivable dans IR ?     NON

          • Que vaut ln ' ( x )  avec x dans le domaine de dérivabilité de ln ?    ln ' ( x ) = 1 / x    avec x > 0

        •  Quel est le sens de variation de la fonction ln ?     Srictement croissante sur   ] 0 , + ∞ [

        •  ln( 2 )  est-il positif ?  négatif ? nul ?   ln( 2 ) > 0   car  2 > 1

         • Quel est le signe de ln( x ) quand x est dans ] 0 ; 1 [  ?     Négative strictement

         • Quel est le signe de ln( x ) quand x est dans ] 1 ; + ∞ [ ?    Positive strictement

         •  Quelle condition doit-on imposer à x pour pouvoir parler de ln( x + 2 ) ?    x + 2 > 0   c-à-d    x > - 2

           •    Soit  a > 0  et   b > 0 .    Que vaut  ln( a ×b ) ?       ln( a ) + ln( b )       

                                                          Que vaut     ln( a ) -  ln ( b ) ?   ln( a / b )

                                                           Que vaut  ln ( 1 / a )  =   ?     - ln ( a ) 

                Soit n un entier naturel.

                                                     Que vaut     ln ( an  )  ?      n ln( a )

                                                     Que vaut ln(  √ a  )   ?          0, 5 ln( a )   

           •   Soit la fonction f  : x → ln( a x + b )      avec a réel non nul et b un réel.

               Quelle est la fonction f ' sur l'ensemble des réels x tels que a x + b > 0 ?  f ' : x →  a  / ( a x + b )

           •  Quelles sont les coordonnées du point d'intersection de la courbe

              de la fonction ln  avec l'axe des abscisses?       ( 1 ; 0 ) 

           •  La courbe de la fonction ln rencontre-t- elle  l'axe des ordonnées ?  NON

           •   Soit u une fonction définie,  dérivable, strictement positive

              sur un intervalle I.

               Quelle est la dérivée de la fonction x → ln ( u( x ) ) ?    u '  / u

  II.  APPLICATION.

                 Pour chacune des fonctions f suivantes donner

               le domaine de définition , la fonction dérivée f ' ,

               le signe de f ' , le tableau de variation  de f.

                     •      f; x →   x ln( x ) - x

                              • •       Df =  ] 0 , + ∞ [ 

                              • •   Soit x > 0 .

                                     On a :    f ' ( x ) = 1 ln( x ) +  x  ( 1 / x )   -  1 

                                      c-à-d   f ' ( x )  =  ln( x ) + 1 - 1  = ln ( x )

                                  Donc   f ' ( x ) =  ln( x )       avec x > 0 

                               • •    f ' est du signe de ln   dans   ] 0 , + ∞ [.

                                          f ' ( x )  = 0  ssi x = 1

                                         f ' ( x ) > 0  ssi  x > 1

                                          f ' ( x ) < 0  ssi  0 < x < 1 

                            • •  Tableau de variation de f :

x 0                                 1                  + ∞
f '( x )  ||             -                 0              +
f( x )  ||              ↓             - 1               ↑

                     •      f : x →  ln( - 2 x + 3 ).

                           • • - 2 x + 3 > 0 s'écrit   3 > 2 x   c-à-d  x < 3 / 2

                                   Df =  ] - ∞ ,  3 / 2  [ 

                           • •    f ' ( x ) = - 2 / ( - 2 x + 3 )    avec   x < 3 / 2

                             • •   f ' ( x ) < 0    pour tout x < 3 / 2 

                             • • Tableau de variation :

x    - ∞                                          3 / 2
f '( x )                                  -                   ||
f( x )                                        ↓             ||  

                    

                             ( Les courbes  sont facultatives )

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