INFO EX 5 ;6;7 LISTE1

INFO EX 5.6.7       LISTE  1 D'EX SUR LES LIMITES    S   5 Janvier 2009

 

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  EX.5       Soit la fonction f: x → ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) 

            1. Trouver la limite de f en + ∞.

            2. La courbe ( C ) de la fonction f admet-elle une asymptote oblique 

                en + ∞.

             3. La courbe ( C ) admet-elle une asymptote verticale?

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  REP          1. Trouvons  la limite de f en + ∞.

                      f est une fonction rationnelle  définie dans IR - { 1 }.  

 

                  + ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f .

                   On peut faire la recherche.

              Soit x > 1.

           Le quotient des termes de plus haut degré est  ( 2 x²  ) / x.

           Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est  2 x.

              lim  2 x  = + ∞  

             x → + ∞  

                Donc 

                 lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 )     =   + ∞  

                  x → + ∞  

           Conclusion :   lim f ( x ) = + ∞  

                                 x → + ∞  

          2. Déterminons l'asymptote oblique.

              Par division on a :   Pour tout x dans IR - { 1 }

             ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) = 2 x + 5  +  9 / ( x - 1 )

 

 2 x² + 3 x + 4 | x - 1
- ( 2 x² -  2 x) |2 x+ 5
       5 x + 4  |

- ( 5 x - 5 )

           9

 

              Ainsi :    f( x )  - ( 2 x + 5 ) = 9 / ( x - 1 )

               Or  lim 9 / ( x - 1 ) = 0

                     x → + ∞  

 

 

 

 

 

                 Donc  lim ( f( x )  - ( 2 x + 5 ) ) = 0

                     x → + ∞  

                   Conclusion : La droite d'équation y = 2 x + 5 est une asymptote à

                                       la courbe de f en +∞.

             3. Regardons si la courbe de f admet une asymptote verticale.

                   On a :     •    lim  (  2 x² + 3 x + 4  ) = 9

 

                                      x → 1  

 

                                •     lim ( x- 1 ) = 0+

 

                                      x → 1+

 

 

 

 

 

                                             •    lim ( x- 1 ) = 0-

                                                  x → 1-

                          Ainsi  :

                             • •    lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 )  1 = 9 / 0 = +∞

 

                                    x → 1+

                         Donc          lim f (x  ) =  +∞

                                  x → 1+

 

                                     • •    lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 )  1 = 9 / 0 = - ∞

                                                x → 1-

                                             lim f (x  ) =  - ∞

                                              x → 1                                       

                   Conclusion :   La droite D : x = 1 est une asymptote verticale pour

                                      la courbe de f.

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 EX.6      Soit la fonction f : x →  √( 1 + x² ) - x 

             1. Etablir que √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )

                pour tout réel positif x.   

             2. Trouver   lim ( √( 1 + x² ) + x )   .

                                x → + ∞                  

             3. En déduire la limite de f en + ∞.

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   REP          La fonction f est définie dans IR .

 

 

                 1. Etablissons  que √( 1 + x² ) - x  = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )

 

                 pour tout réel positif x.   

               On a :  [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = ( √( 1 + x² )  )² - x²

             c-à-d      [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] =  1 + x²  - x²   

             c-à-d      [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] =  1

             En divisant par le réel non nul  √( 1 + x² ) + x   chaque membre on obtient

             l'égalité demandée : √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) .

                  Conclusion :   On a bien l'égalité pour tout réel x.

                                          f( x ) =  1 / ( √( 1 + x² ) + x )

                                         pour tout réel positif x.    

 

                    2 . Trouvons   lim ( √( 1 + x² ) + x )   .

                                          x → + ∞                 

 

             On a :       √( 1 + x² ) + x  > x        pour tout x dans IR .

                          Or   lim x =  + ∞   

                               x → + ∞    

 

                           d'où     lim ( √( 1 + x² ) + x )  =  + ∞   

                                      x → + ∞   

                 Conclusion:    lim ( √( 1 + x² ) + x )  =  + ∞   

                                      x → + ∞   

 

 

                    2 . Trouvons   lim  f( x )   .

                                         x → + ∞  

                   Comme     lim ( √( 1 + x² ) + x )  =  + ∞   

                                      x → + ∞   

                 on a pour l'expression inverse:

                           lim 1 / ( √( 1 + x² ) + x )  =  0   

                         x → + ∞   

                  c-à-d    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

            Conclusion :    lim   f( x )  = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        x →   + ∞    

 

 

 

 

 

 

 

 

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    EX.7        Soit la fonction f : x →  cos x   / ( 1 + x² )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    1. Encadrer f par deux fonctions.

                    2. Trouver la limite de f en + ∞.

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  REP       La fonction f est définie dans IR. 

              1. Encadrons f.

                  Pour tout x dans IR  on a       - 1 =< cos x  =< 1 .

               Donc en multipliant chaque membre par le quotient posisif  1 / ( 1 + x² )

 

                il vient :   - 1 / ( 1 + x² )   =<   cos x  / ( 1 + x²  )   =<  1 / ( 1 + x² )

                 c-à-d     - 1 / ( 1 + x² ) =< f( x )  =<  1 / ( 1 + x² )

               Conclusion : On a bien encadé   f( x )  pour tout réel x.

                2. Trouvons  la limite de f en + ∞.

                     + ∞ est bien une extrémité de l'intervalle de définition .

                      On faire la recherche.

                     Comme lim ( 1 + x²  ) = lim x²  = + ∞

                                    x →   + ∞        x  →+ ∞

                       On a     lim - 1 / ( 1 + x² )  = lim  1 / ( 1 + x² ) = 0

                                    x →   + ∞                x →   + ∞  

                       avec l'encadrement de la question 1. et le th. des gendarmes on peut

                      conclure que   lim   cos x /( 1 + x²  ) = 0

                                             x →   + ∞      

 

                    Conclusion    lim   f( x )  = 0

                                        x →   + ∞    

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