PROBLEMES DE DENOMBREMENTS BTS NOV. 08
Problème.1 Dans le jeu du loto sportif, le parieur doit remplir une grille où il indique
les résultats qu'il prévoit pour les treize matchs futurs de football.
Pour chacun des treize matchs, trois réponses sont possibles:
L'équipe 1 est annoncée comme gagnante ( réponse "1" ), le résultat prévu est
un match nul ( réponse " N" ) , l'équipe 2 est annoncée comme gagnante ( réponse " 2" ).
Ces trois réponses recouvrent toutes les éventualités et, à l'issue du match, une et une
seule se trouvera réalisée.
Voici un extrait de grille:
Equipe 1 Equipe 2
1 NANTES MARSEILLE 1 N 2
2 STRASBOURG AUXERRE 1 N 2
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
13 BORDEAUX METZ 1 N 2
La règle du jeu est la suivante : Sur chacune des treize lignes, le parieur
coche une et une seule des trois cases 1 N 2 correspondant au résultat prévu.
C'est ce que l'on appelle remplir la grille.
1. Combien de façon différentes peut-on remplir la grille?
2. Dénombrer les grilles pour lesquelles , à l'issue des matchs:
a. Toute les réponses sont exactes.
b. Toutes les réponses sont fausses.
c.Les trois premières réponses sont fausses , et les dix autres étant exactes.
d. Trois réponses et trois seulement sont fausses.
3. Pour gagner au loto sportif , il faut avoir au moins dix réponses exactes.
Quel est le nombre de grilles gagnantes?
REP. 1. Recherche du nombres de façons différentes de remplir une grille .
Schéma: I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I 3 I
Pour chacun des treize matchs il y a trois façon de répondre.
Ainsi:
D'après le principe multiplicatif il y a 313 façons différentes de remplir une grille.
Conclusion: Il y a donc 1 594 323 façons différentes de remplir les grilles .
2.a. Il n'y a qu'une seule grille où toute les réponses sont exactes.
En effet:
Pour chacun des treize matchs il n'y a qu'une seule façon de
répondre exactement .
Cela correspond au schéma suivant: I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I
Cela fait 113 = 1 possibilité.
b. Il y a 8192 grilles différentes avec toutes les réponses fausses.
En effet :
Pour chacun des treize matchs il n'y a deux façons de
répondre faussement .
De la même façon:
Cela correspond au schéma: I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I 2 I
Il y a d'après le principe multiplicatif 213 possibilités.
Conclusion: Il y a 8192 grilles différentes avec toutes les réponses fausses
c. Donnons le nombre de grilles diférentes avec les trois premières
réponses fausses.
Schéma: Cela correspond à : I 2 I 2 I 2 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I 1 I
Il y a d'après le principe multiplicatif 23 × 110 possibilités.
Conclusion: Il y a 8 grilles différentes où les trois premières réponse seulement sont fausses.
d. Dénombrons les grilles avec trois réponses fausses.
Il y a C13 3 façons de choisir 3 matchs, parmi 13 matchs, où les réponses seront fausses.
Chaque fois que les trois matchs, où les réponses sont fausses, sont connus il y a 8 grilles possibles.
Donc il y a C13 3 × 8 grilles différentes où trois réponses sont fausses.
Conclision: Il y a 2288 grilles différentes où trois réponses sont fausses.
3. Donnons le nombres de grilles gagnantes.
Au moins 10 réponses exactes peut être:
10 réponses bonnes .( c-à-d 3 réponses fausses) Soit 2288 grilles.
11 réponses bonnes . ( c-à-d 2 réponses fausses) Soit C13 2 × 24 grilles .
12 réponses bonnes. ( c-à-d 1 réponses fausses ) Soit C13 1 × 25 grilles.
13 réponses bonnes . Soit 1 grille.
Au total cela fait : 1 + 41184 + 11440 +2288 = 54913
Conclusion :
Il y a 2627 grilles gagnantes.
On considère des grilles de mots croisés carrées et comportant 16 carreaux noirs ou blancs.
Dans ce qui suit , les grilles considérées ne sont pas remplies par des mots.
On les distingue donc uniquement par le nombre et la position des carrés noirs.
Et la grille dont tous les carrés sont noirs est admise comme grille de mots croisés.
1. a. Calculer le nombre A de grilles de mots croisés comportant 5 carreaux noirs.
b. Calculer le nombre B de grilles de mots croisés comportant 8 carreaux noirs.
c. Soit C le nombre de grilles de mots croisés comportant 11 carreaux noirs.
Démontrer sans calcul que C = A.
2. Soit T le nombre de grilles de mots croisés différentes . Démontrer que
l'on a: T = 2 16 .
3. a. Soit X le nombre de grilles de mots croisées comportant au plus 7 carreaux noirs ,
Y le nombre de grilles de mots croisées comportant au moins 9 carreaux noirs .
Démontrer que X = Y.
b. Déduire X.
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REP