INFO EX.6. LISTE 1 D'EX SUR LES LIMITES S 5 Janvier 2009
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EX.6 Soit la fonction f : x → √( 1 + x² ) - x
1. Etablir que √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) pour tout réel positif x. 2. Trouver lim ( √( 1 + x² ) + x ) . x → + ∞ 3. En déduire la limite de f en + ∞. -------------------------------------------------------------------- REP La fonction f est définie dans IR . 1. Etablissons que √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )
pour tout réel positif x. On a : [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = ( √( 1 + x² ) )² - x² c-à-d [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = 1 + x² - x² c-à-d [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = 1 En divisant par le réel non nul √( 1 + x² ) + x chaque membre on obtient l'égalité demandée : √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) . Conclusion : On a bien l'égalité pour tout réel x. f( x ) = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )
pour tout réel positif x. 2 . Trouvons lim ( √( 1 + x² ) + x ) .
x → + ∞ On a : √( 1 + x² ) + x > x pour tout x dans IR . Or lim x = + ∞ x → + ∞
d'où lim ( √( 1 + x² ) + x ) = + ∞ x → + ∞ Conclusion: lim ( √( 1 + x² ) + x ) = + ∞ x → + ∞ 2 . Trouvons lim f( x ) . x → + ∞
Comme lim ( √( 1 + x² ) + x ) = + ∞ x → + ∞ on a pour l'expression inverse: lim 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) = 0 x → + ∞ c-à-d
Conclusion : lim f( x ) = 0
x → + ∞
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