INFO EX 5.6.7 LISTE 1 D'EX SUR LES LIMITES S 5 Janvier 2009
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EX.5 Soit la fonction f: x → ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 )
1. Trouver la limite de f en + ∞.
2. La courbe ( C ) de la fonction f admet-elle une asymptote oblique
en + ∞.
3. La courbe ( C ) admet-elle une asymptote verticale?
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REP 1. Trouvons la limite de f en + ∞.
f est une fonction rationnelle définie dans IR - { 1 }.
+ ∞ est une extrémité d'un intervalle de définition de f . On peut faire la recherche. Soit x > 1. Le quotient des termes de plus haut degré est ( 2 x² ) / x. Le quotient simplifié des termes de plus haut degré est 2 x. lim 2 x = + ∞ x → + ∞ Donc lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) = + ∞ x → + ∞ Conclusion : lim f ( x ) = + ∞ x → + ∞ 2. Déterminons l'asymptote oblique. Par division on a : Pour tout x dans IR - { 1 } ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) = 2 x + 5 + 9 / ( x - 1 )
- ( 5 x - 5 ) 9
2 x² + 3 x + 4
| x - 1
- ( 2 x² - 2 x)
|2 x+ 5
5 x + 4
|
Ainsi : f( x ) - ( 2 x + 5 ) = 9 / ( x - 1 )
Or lim 9 / ( x - 1 ) = 0
x → + ∞
Donc lim ( f( x ) - ( 2 x + 5 ) ) = 0
x → + ∞ Conclusion : La droite d'équation y = 2 x + 5 est une asymptote à la courbe de f en +∞. 3. Regardons si la courbe de f admet une asymptote verticale. On a : • lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) = 9 x → 1 • lim ( x- 1 ) = 0+ x → 1+
• lim ( x- 1 ) = 0-
x → 1- Ainsi : • • lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) 1 = 9 / 0+ = +∞ x → 1+ Donc lim f (x ) = +∞ x → 1+ • • lim ( 2 x² + 3 x + 4 ) / ( x - 1 ) 1 = 9 / 0- = - ∞
x → 1- lim f (x ) = - ∞ x → 1- Conclusion : La droite D : x = 1 est une asymptote verticale pour la courbe de f. ----------------------------------------------------------------------------------------------
EX.6 Soit la fonction f : x → √( 1 + x² ) - x
1. Etablir que √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) pour tout réel positif x. 2. Trouver lim ( √( 1 + x² ) + x ) . x → + ∞ 3. En déduire la limite de f en + ∞. -------------------------------------------------------------------- REP La fonction f est définie dans IR . 1. Etablissons que √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )
pour tout réel positif x. On a : [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = ( √( 1 + x² ) )² - x² c-à-d [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = 1 + x² - x² c-à-d [√( 1 + x² ) - x ] × [ √( 1 + x² ) + x ] = 1 En divisant par le réel non nul √( 1 + x² ) + x chaque membre on obtient l'égalité demandée : √( 1 + x² ) - x = 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) . Conclusion : On a bien l'égalité pour tout réel x. f( x ) = 1 / ( √( 1 + x² ) + x )
pour tout réel positif x. 2 . Trouvons lim ( √( 1 + x² ) + x ) .
x → + ∞ On a : √( 1 + x² ) + x > x pour tout x dans IR . Or lim x = + ∞ x → + ∞
d'où lim ( √( 1 + x² ) + x ) = + ∞ x → + ∞ Conclusion: lim ( √( 1 + x² ) + x ) = + ∞ x → + ∞ 2 . Trouvons lim f( x ) . x → + ∞
Comme lim ( √( 1 + x² ) + x ) = + ∞ x → + ∞ on a pour l'expression inverse: lim 1 / ( √( 1 + x² ) + x ) = 0 x → + ∞ c-à-d
Conclusion : lim f( x ) = 0
x → + ∞
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1. Encadrer f par deux fonctions.
2. Trouver la limite de f en + ∞.
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REP La fonction f est définie dans IR.
1. Encadrons f.
Pour tout x dans IR on a - 1 =< cos x =< 1 .
Donc en multipliant chaque membre par le quotient posisif 1 / ( 1 + x² )
il vient : - 1 / ( 1 + x² ) =< cos x / ( 1 + x² ) =< 1 / ( 1 + x² )
c-à-d - 1 / ( 1 + x² ) =< f( x ) =< 1 / ( 1 + x² )
Conclusion : On a bien encadé f( x ) pour tout réel x.
2. Trouvons la limite de f en + ∞.
+ ∞ est bien une extrémité de l'intervalle de définition .
On faire la recherche.
Comme lim ( 1 + x² ) = lim x² = + ∞
x → + ∞ x →+ ∞
On a lim - 1 / ( 1 + x² ) = lim 1 / ( 1 + x² ) = 0
x → + ∞ x → + ∞
avec l'encadrement de la question 1. et le th. des gendarmes on peut
conclure que lim cos x /( 1 + x² ) = 0
x → + ∞
Conclusion lim f( x ) = 0
x → + ∞
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