LECON : I. ANGLES ,ARCS , ORIENTES OU NON . 1S Janvier 09
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1. Rappel. π radians = 180°
| θ en radians | 0 | π /6 | π / 4 | π / 3 | π / 2 |
| θ en degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| cos θ | 1 | √3 / 2 | √2 / 2 | 1 / 2 | 0 |
| sin θ | 0 | 1 / 2 | √2 / 2 | √3 / 2 | 1 |
2. Arc géométrique: Partie de cercle comprise entre deux points du cercle.
3. Longueur d'un arc géométrique.
Soit Arc( AB ) un arc géométrique sur un cercle de rayon R.
Soit θ la mesure en radians de l'angle au centre qui intercepte Arc( AB ).
La longueur de Arc( AB ) est R θ en unité de longueur.
4. Aire d'un secteur géométrique.
L'aire du secteur d'angle au centre θ radians pour un cercle de rayon R
est : ( 1 /2 ) R² θ en unités d'aire.
Cas particulier: θ = 2 π Alors l'aire du secteur est l'aire du cercle π R² .
5. Notation Modulo [ 2 π ] .
Cette notation est très pratique mais non obligatoire dans le programme de
première.
Soit deux réels a et b .
Les affirmations suivantes sont équivalentes
• a est égale à b à un multiple de 2 π près.
• a = b modulo 2 π
• a = b [ 2 π ]
• a - b = 0 [ 2 π ]
• Il existe un entier relatif k tel que a = b + 2 k π
6. Exemple.
Soit a = ( 7 π ) / 3 et b = π / 3
On a : ( 7 π ) / 3 = π / 3 + 2 π
On peut donc écrire : a = b [ 2 π ]
7. Notation Modulo [ π ] .
Soit deux réels a et b .
Les affirmations suivantes sont équivalentes : • a est égale à b à un multiple de π près. • a = b modulo π • a = b [ π ] • a - b = 0 [ π ] • Il existe un entier relatif k tel que a = b + k π 8. Exemple. Soit a = ( 4 π ) / 3 et b = π / 3 . On a : ( 4 π ) / 3 = π / 3 + π
On peut donc écrire : a = b [ π ] 9. Mesure d'un arc géométrique. • La mesure d'un arc géométrique sur un cercle est la mesure de l'angle au centre qui intercepte l'arc. • Soit A et B deux points distincts d'un cercle C de rayon R. Si θ est une mesure en radians de l'un des deux arcs d'extrémités A et B , alors l'autre est de mesure 2 π - θ radians. 10.Cercle trigonométrique. Soit le repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) direct du plan. Le cercle de centre O et de rayon 1 , orienté dans le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre est le cercle trigonométrique. 11. ABSCISSE CURVILIGNE d'un point du cercle TRIGO. Soit les point I ( 1 ; 0 ) et J ( 0 ; 1 ) Soit C le cercle trigonométrique. On considère l'axe graduée souple ( I , vect( j ) ). • Quand on enroule l'axe "souple " ( I , vect( j ) ) sur le cercle trigonométrique le réel a de cet axe vient se placer en un point M du cercle trigo. Pour ce point M , a est une abscisse curviligne .
a + 2 k π
où k est un entier relatif en sera une aussi .
{ a + 2 k π / k soit dans l'ens. des entiers relatifs } est l'ensemble des abscisses
curviligne de M.
• Si b est une autre abscisse curviligne de M alors a - b = 0 [ π ] .
• Parmi les abscisses curbiligne il en existe une particulière qui est dans l'intervalle ] - π , π] .
12. ARC ORIENTE.
Soit ( C )n cercle . Soit A et B deux points distincts de ( C ).
L'arc orienté Arc( A , B ) est associé au couple ( A , B ). A est son origine . B est son extrémité.
Il est représenté par l'une au choix des deux flèches courbes d'origine A et d'extrémité B
sur le cercle ( C ).
13. MESURE D'UN ARC ORIENTE sur le cercle trigo.
Soit A et B deux points du cercle trigo.
Soit a une abscisse curviligne de A.
Soit b une abscisse curviligne de B.
On a : mes( Arc( A,B) ) = b - a [ 2 π ] en radians
14. RELATION de CHASLES pour les mesures des ARC ORIENTES.
A , B et C trois points du cercle trigo.
Soit a une abscisse curviligne de A. Soit b une abscisse curviligne de B. Soit c une abscisse curviligne de C. On a : mes( Arc( A,B) ) = mes( Arc( A,C ) ) + mes( Arc( C,B ) ) [ 2 π ] en radians 16. ANGLE ORIENTE. Soit deux vecteurs non nuls vect( u ) , vect( v ). Le couple ( vect( u ) , vect( v ) ) est un angle orienté. Il est représenté par une flèche courbe partant de vect( u ) et arrivant à vect ( v ) dans le sens positif ou négatif. 17. MESURE D'UN ANGLE ORIENTE. Soit deux vecteurs non nuls vect( u ) , vect( v ). Soit sur le cercle trigo. les point A et B tels que : vect( O,A ) = ( 1 / || vect( u ) || ) vect( u ) vect( O,B ) = ( 1 / || vect( v ) || vect( v ) Soit a une abscisse curviligne de A.
Soit b une abscisse curviligne de B. On a : mes ( vect( u ) ,vect(v ) ) = b - a [ 2 π ] en radians. On a donc : mes ( vect( u ) ,vect(v ) ) = mes ( Arc( A , B) ) [ 2 π ] en radians. Parmi les mesures en radians figure la mesure principale comprise dans ] - π , π]. 18. PROPRIETE. Soit trois vecteurs vect( u ) , vect( v ) , vect( w ) non nuls
• Ona : La relation de Chasles:
( vect ( u ) , vect( v ) ) = ( vect ( u ) , vect( w ) ) + ( vect ( w ) , vect( v ) ) [ 2 π ]
• On a : ( vect ( u ) , - vect( v ) ) = ± π + ( vect ( u ) , vect( v ) ) [ 2 π ]
• On a : ( - vect ( u ) , vect( v ) ) = ± π + ( vect ( u ) , vect( v ) ) [ 2 π ]
• On a : ( vect ( u ) , - vect( u ) ) = ± π [ 2 π ]
• On a : ( - vect ( u ) , - vect( v ) ) = ( vect ( u ) , vect( v ) ) [ 2 π ]
• On a : ( vect ( u ) , vect( v ) ) = - ( vect ( v ) , vect( u ) ) [ 2 π ]
• On a : (k vect ( u ) , k vect( v ) ) = ( vect ( u ) , vect( v ) ) [ 2 π ] avec k réel non nul
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