SUJET COMMUN 1S 2010
EXERCICE 1 QCM
Chaque question comporte une seule réponse exacte.
Vous devez cocher la case correspondante.
1. Soit la fonction f : x → 1 / ( 2 x ) définie sur IR*
Elle admet comme fonction dérivée :
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2. Soit f une fonction définie sur IR*+ telle que f( 1 ) = 0 et de fonction dérivée
f ' : x → 1 / x .
la fonction g ' : x → 1 / ( 2 x + 1 ).
L'équation réduite de la tangente à la courbe ( C ) de la fonction f au point d'abscisse
1 est : y = - x + 1.
f( 1 + h ) ≈ h
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3. Soit la fonction f : x → 1 / ( 3 - x ) définie sur IR - { 3 }.
fonction f ' : x → 1 / ( 3 - x )²
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 admet
un coefficient égal à - 1 / 9 .
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4. Soit la fonction f : x → x² + x + 2
La forme canonique de f est :
f( x ) = ( x - ( - 1 / 2 ) )² - 1 / 4
5. La droite d'équation y = 1,5 x + 1, 5 est la tangente au point d'abscisse 1
à la courbe de la fonction:
f : x → ( x - 1 )/ ( 2 x - 0, 5 )
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EXERCICE 2
1. Soit la fonction f : x → x +( 3 / x ) - ( 1 / x² ) définie sur IR• .
Déterminer la fonction dérivée f ' de f.
2. Soit la fonction g: x → x3 - 3x + 2.
a. Montrer que l'équation g( x ) = 0 admet une racine évidente.
b. Déterminer trois réels a , b, c tels que :
g( x ) = ( x - 1 )( a x2 + b x + c ) pour tout réel x.
c. Donner le signe de g( x ) suivant x.
d. Montrer que f '( x ) est du signe de g( x ) / x pour tout x dans IR• .
e. Donner le tableau de variation de la fonction f.
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EXERCICE 3
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Soit les points A( - 4 : 0) et B( 2; 6 ).
Soit M( x , y ) désigne un point quelconque du plan.
1. Montrer que : MA² + MB² = 2 x² + 2 y² + 4 x - 12 y + 56.
2. Quel est l'ensemble des pints M du plan tels que MA² + MB² = 40 .
Représenter ( E ).
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EXERCICE 4
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ) .
Placer les points A( - 1 ; 0 ) et B ( 4 ; 0 ).
Choisir un point C non aligné avec A et B .
M désigne un point quelconque du plan.
On note H le point de la droite ( AB ) qui vérifie vect(AH). vect(AB) = - 10 .
1. a. Que vaut la distance AB ?
Les vecteurs colinéaires vect( AH ) et vec( AB ) sont-ils de même sens ? de sens contraires?
b. Que vaut la distance AH ? Faire une figure en plaçant le point H.
2. Quel est l'ensemble ( Γ )des points M du plan tels que vect( HM) . vect(AB ) = 0 ?
3. Comparer les réels vect( AH ) . vect( AB) + vect( HM ) . vect ( AB) et vect(AM) . vect( AB ).
4. Etablir que vect( AM ) . vect( AB) = - 10 équivaut à vect( HM ) . vet( AB) = 0.
Quel est l' ensemble des point M du plan tels que vect( AM ) . vect( AB) = - 10 ?
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EXERCICE 5
Soit dans le plan un parallélogramme ABCD direct.
On note : I le barycentre des points pondérés ( A , - 2 ) et ( B , 5 ).
J le barycentre des points pondérés ( C , 1 ) et ( D , 2 ).
K le milieu du segment [ BC ] .
M désigne un point quelconque du plan.
1. a. Construire les points I et J.
Etablir que : vect( BI ) = vect( JC )
b. Quel est le milieu du segment [ IJ ]?
c. Réduire chacun des vecteurs - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB ) et vect( MC ) + 2 vect( MD ) .
2.a. Trouver l'ensemble ( L ) des points M du plan tels que :
|| - 2 vect( MA ) + 5 vect( MB ) || = || vect( MC ) + 2 vect( MD ) || .
b. Justifier que le point K est dans ( L ) . Représenter ( L ) .
3. a. Trouver l'ensemble des points M du plan tels que:
( vect( MB ) + vect( MC ) ) . vect( MA ) = 0 .
Représenter cet ensemble .
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