SUITES NUMERIQUES 14 /04/ 10

              Séance:        9h25-11h30                           Mercredi 14 Avril 2010            1S1    

           Nouvelle leçon :

                                                   SUITES   NUMERIQUES.   

  FIN DE L'EX. COMMENCE LE SAMEDI 10 AVRIL 2010.

           On a vu l'étude des variations de la fonction rationnelle suivante:

                               f : x → (x² + x + 1) / ( x + 1)  

         c-à-d             f : x  → x  +  (  1 / ( x + 1) )

            f est une fonction définie et dérivable sur IR - { - 1 } comme

           fonction rationnelle définie dans IR - { - 1 }.

              Soit    x ≠ - 1 .

             On a vu  en considérant   

             ( 1 / v )'  = - v ' / v²  avec v : x  → x + 1 et v ' : x    → 1

              que :

             f '( x ) = 1 -  1 / ( x + 1 )²  = (   ( x + 1 )² - 1 ) / ( x + 1) ²          

             c-à-d

               f ' ( x ) =  ( x² + 2 x + 1 -  1 ) / ( x + 1) ²

            c-à-d

            f ' ( x ) = x ( x + 2 ) / ( x + 1 )²

              f ' ( x ) pour tout x dans IR - { - 1 } est du signe de x ( x + 2 ).

             D'où 

             le tableau de variation de f :         

x - ∞        - 2        - 1             0                   + ∞
f '( x )         +     0    -    ||    -        0         +
f ( x )     ↑       - 3    ↓    ||      ↓      1         ↑  

                •◊ EXEMPLE D'INTRODUCTION.

                    IR- { 1 } = ] - ∞ , - 1 [ U ] - 1 , + ∞ [

                   IN      est inclus dans l'intervalle   ] - 1 , + ∞ [

                     La restriction de la fonction f précédente  à IN s'appelle la suite

                     numérique ( f )  définie dans IN  de terme général :

                     f( n ) =  (n - 1) /( n + 1)       ou         f( n ) =   n + (  1 / (  n + 1 ) )

                      avec n dans IN .

                      f( n ) est aussi noté fn  .

                 Cette suite est   notée  ( f )  ou  (  fn )  ou encore  (  fn   )IN  .

           Ainsi  ses premiers termes sont :   

                    f ( 0 ) = 0 +  ( 1 / ( 0 + 1 ) ) =  1                                     c-à-d                          f= 1   

                    f ( 1 ) = 1 + ( 1 / 1 + 1 ) = 1 ,5                                        c-à-d                         f1 = 1 , 5

                   f( 2 )  = 2 + (1/ ( 2 + 1 ) ) = 2 + 1 / 3  =  7 / 3                c-à-d                         f2 =  7 / 3 

                       ........................................       etc

           f( n ) =   n + (  1 / (  n + 1 ) )  

         f( n + 1  ) =  ( n + 1)  + (  1 / (  n+ 1 + 1 ) )n + 1 +  ( 1 / ( n + 2 )       On remplace n par n + 1                                           

                        ..................................................   etc

     Définition d'une suite numérique.

                    Tout fonction numérique u définie IN est appelée

                     suite numérique définie dans IN.

                    Elle est notée  ( u )   ou   ( u n   ) ou   (  u n   ) IN   .

                    On écrit:           u : IN  ----->  IR

                                            n   --------->  u( n )

                   Son terme général est u ( n )   c-à-d   u n      .

    • ◊ Sens de variation d'une suite numérique

               Soit ( u ) une suite numérique  définie dans IN .

            Alors:

      La suite ( u ) est croissante sur IN ssi     u n + 1 -  u n  ≥ 0     pour tout n dans IN.

 

      La suite ( u ) est décroissante sur IN ssi     u n + 1 -  u n  ≤ 0     pour tout n dans IN.

    EXEMPLE 

                  Soit la suite de terme général    u n =  ( n - 1 ) / ( n + 1 )  pour tout n dans IN.

                 Donner le sens de variation de la suite ( u ).

           Réponse:

                Première méthode.

                   On peut penser à la fonction rationnelle  u : x →   ( x - 1  ) / ( x + 1 ) 

                  définie et dérivable dans IR - { - 1 }  dont la suite ( u ) est la restriction à IN.

                   On étudie le sens de variation de la fonction numérique u pour avoir celui

                   de la suite ( u ).

                 Soit x dans  IR - { - 1 }.

                 On a:                             u( x ) = (  x + 1 -  2  ) /  (x + 1 )

                  c-à-d                        u( x ) = ( x + 1 ) / ( x + 1 ) -  2 / ( x + 1 )

                   c-à-d                                     u( x ) = -   2  ( 1 / ( x + 1 ) )

                 On donc  :                   f '( x ) = - 2  (  - 1 / ( x + 1 )²  )   =  2 / ( x + 1 )²

                     Ainsi :   u '  > sur IR - { - 1 } .