LISTE D' EXERCICES SUR LES BARYCENTRES OCT 2008 1S
EX. 1 1. Ecrire le point M comme barycentre des points A et B pour des coefficients à préciser.
A•----•----•----•B----•----•M
2. Ecrire le point M comme barycentre des points A et B pour des coefficients à préciser.
A•----•----•----•M----•----•B
REP. 1. Il apparait que M est sur la droite ( AB ) mais pas entre A et B.
De plus MA = 5 et MB = 2. Donc: M est le barycentre des points pondérés ( A , - MB ) et ( B , MA )
2. Il apparait que M est sur le segment [AB]. De plus MA = 3 et MB = 2. Donc: M est le barycentre des points pondérés ( A , MB ) et ( B , MA )
M est le barycentre des points pondérés ( A , - 2 ) et ( B , 5 )
M est le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et ( B , 3 )
EX . 2 Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ).
Soit les points A ( - 2 ; 1 ) , B( 3 ; 1) , C( 0 ; 4 ).
Soit H le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) .
1. Donner les coordonnées du point H.
a. Donner les coordonnées du pont G.
b. On rappelle que la distance du point A au point B est :
AB =√( ( xB - xA )² + ( yB - yA )² ). Calculer AB. c. Réduire le vecteur vect( MA ) + 3 vect( MB ) +2 vect( MC) puis donner sa norme. 3. Déterminer l'ensemble ( U ) des points M du plan tels que les vecteurs suivants soient de même norme: 6 vect( AB) vect( MA ) + 3 vect( MB ) + 2 vect( MC ).
REP. 1. Le barycentre H des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) existe car 1 + 2 ≠ 0
On a H( - 2 / 3 ; 3 ). En effet:
xG = ( 1×( - 2 ) + 2 ×( 0 ) ) / ( 1 + 2 ) = - 2 / 3
yG = ( 1×( 1 ) + 2 ×( 4 ) ) / ( 1 + 2 ) = 9 / 3 = 3
On a : H( - 2 / 3 ; 3 ).
2. a. Le point G barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 )
existe car 1 + 3 + 2 ≠ 0.
xG = ( 1×( - 2 ) +3 ( 3 ) + 2 ×( 0 ) ) / ( 1 + 3 + 2 ) = 7 / 6
yG = ( 1×( 1 ) +3 ( 1 ) + 2 ×( 4 ) ) / ( 1 + 3+ 2 ) = 12 / 6 = 2
| On a : G( 7 / 6 ; 2 ). |
b. Le vect( AB ) est de coordonnées ( 3 + 2 ; 1 - 1 ) c-à-d ( 5 ; 0 ).
| On a : AB = 5 |
c. D'après la propriété fondamentale
vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG )
Donc:
| vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG )
Sa norme est donc 6 MG. |
3. L'ensemble U est l'ensemble des points M tels que : 6 MG = 6 AB
c-à-d tels que : 6 MG = 6 × 5
c-à-d tels que : MG = 5
Donc
U est le cercle de centre G et de rayon 5.
EX 3. Soit le point B' tel que: vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC )
Soit le point A' tel que : vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC ). 1. Ecrire A' comme barycentre des points pondérés B et C pour des coefficients à préciser. 2. Ecrire B' comme barycentre des points pondérés A et C pour des coefficients à préciser. 3 . Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ( B , 3 ) et ( C , 6 ). Montrer que le point G est le point d'intersection des droites ( A A' ) et ( B B' ). REP. 1. On a: vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC )
c-à-d 3 vect( BA' ) = 2 vect(BC ) c-à-d 3 vect( BA' ) = 2 vect(BA' ) + 2 vect (A'C ) c-à-d vect( BA' ) = 2 vect (A'C ) c-à-d - vect( BA' ) + 2 vect (A'C ) est le vecteur nul. c-à-d vect( A'B ) + 2 vect (A'C ) est le vecteur nul. Comme 1 + 2 est non nul on a :
A' est le barycentrre des points pondérés ( B , 1 ) et ( C , 2 )
2. On a: vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC ) es traduit par :
c-à-d 4 vect( AB' ) = 3 vect( AC ) est le vecteur nul.
c-à-d - 4 vect( AB' ) + 3 vect( AB' ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.
c-à-d - vect( AB' ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.
c-à-d vect( B'A ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.
Comme 1+ 3 est non nul on a:
3. Montrons que le point G , barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ,( B , 3 )
B' est le barycentre des points pondérés ( A ,1 ) , ( C , 3 ).
et ( C , 6 ) , qui existe car 2 + 3 + 6 ≠ 0 , est sur les droite (AA' ) et ( BB' ).
On peut dire que :
• A' peut être considéré comme le barycentre des points pondérés
( B , 3 ) , ( C , 6 ).
Ainsi G est le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) , ( A' , 9 ).
G , A , A' sont donc alignés.
• B' peut être considéré comme le barycentre des points pondérés
( A , 2 ) et ( C , 6 ).
Ainsi G est le barycentre des points pondérés ( B , 3 ) , ( B' , 8 ).
G , B , B' sont donc alignés.
conclusion : Les droite ( AA' ) et (BB' ) sont sécantes en G.
EX 4