( SUITE DE LA CORECTION DU DS 1 DU 8 /10 / 08 ) 1S1
4. Simplifions A = ( 2(3 n ) × 62 ) / 8n+1
On a : A = ( 8n × 62 ) / ( 8n × 8 ) car 2(3 n ) = ( 23 )n
A = 62 / 8 = 36 / 8 = 9 / 2
Conclusion:
A = 9 / 2
Résolvons 3 x4 - 2 x2 - 1 = 0. ( 1 )
c-à-d X = x2 ( 2 )
3 x2 - 2 x - 1 = 0 ( 3 )
( 3 ) admet 1 comme racine évidente. ( En effet : 3 - 2 - 1 = 0 )
L'autre est donc c / a = - 1 / 3
Comme X doit être positif on retient pour X la valeur 1.
( 1 ) équivaut à 1 = x2 c-à-d x = 1 ou x = - 1.
EXERCICE 2 1. Soit P( x ) = a x² + b x + c avec a non nul et a , b , c des réels. Soit P( x + 1 ) - P( x ) =x pour tout réel x avec P( 1 ) =0 Trouvons P( x ). On a: P( x + 1 ) = a ( x + 1 )² + b ( x + 1 ) + c P( x ) = a x² + b x + c -------------------------------------- Par soustraction: P( x + 1 ) - P( x ) = a ( ( x + 1 )² - x² ) + b( ( x + 1 ) - x ) c-à-d P( x + 1 ) - P( x ) = a ( x+ 1 - x ) ( x + 1 + x ) + b c-à-d P( x + 1 ) - P( x ) = a ( 2 x + 1 ) + b c-à-d P( x + 1 ) - P( x ) = 2 a x + a + b Or P( x + 1 ) - P( x ) = x pour tout réel x. D'où par identification: 2 a = 1 a + b = 0 Mais P( 1 ) = 0 c-à-d a + b +c = 0 . Ainsi : a = 1 / 2 b = - 1 / 2 c = 0
2. Déduisons que: 1 + 2 + ........... + n = ( n ( n + 1 ) ) / 2 pour tout entier naturel non nul. On a: 1 = P( 1 + 1 ) - P( 1 ) pour x = 1 2 = P( 2 + 1 ) - P( 2 ) pour x = 2 ................................. n = P( n + 1 )- P( n ) pour x = n --------------------------------- En sommant: 1 + 2 + ..................+ n = P ( n + 1 ) - P( 1 ) = P( n + 1 ) P( n+ 1 ) = ( 1 / 2 ) ( n + 1 )² - ( 1 / 2 ) ( n + 1 ) P( n + 1 ) = (( n + 1 )( n + 1 - 1 ) )/ 2 Ainsi on a bien: 1 + 2 + ......... + n = ( ( n + 1 ) n ) / 2
Conclusion: 1 + 2 + ........ + n = ( n ( n + 1 ) ) / 2 pour tout entier naturel non nul
CONCLUSION : SIR ={ - 1 ; 1 }
Conclusion : P( x ) =( 1 / 2 ) x² - ( 1 / 2) x
4. Application: 1+ 2 + ... + 999 = ( 999 ×1000 ) / 2 = 499500