LECON n° 2 BARYCENTRE 1S OCT 08
1. INTRODUCTION.
Soit deux points A et B dans le plan P ( respectivement dans l'espace E ) .
On attribue au point A le réel a et au points B le réel b .
A chaque point M du plan P ( respectivement dans l'espace E ) on peut associer
le vecteur a vect( MA ) + b vect( MB) .
La question que l'on peut se poser est:
"PEUT-ON TROUVER UN POINT M particuliier unique tel que:
a vect( MA ) + b vect( MB) soit le vecteur nul ? "
REPONSE: PAS TOUJOURS.
En effet;
•• On démontre que ce n'est possible que si a + b ≠ 0 .
• • On démontre que, par contre, si a + b = 0 alors ce n'est pas possible.
Dans ce cas le vecteur a vect( MA ) + b vect( MB) est " constant"
c'est-à-dire est indépendant du choix de M.
POURQUOI cela ? ( La relation de Chasles le montre. )
• • Soit a + b ≠ 0 .
a vect( MA ) + b vect( MB) égale le vecteur nul
se traduit par vect( AM ) = ( b / ( a + b ) ) vect ( AB )
aussi bien que vect( BM ) = ( a / ( a + b ) ) vect ( BA )
( Il est clair que le point M est alors caractérisé de façon unique.)
On peut le noter G et l'appeler BARYCENTRE des points pondérés
( A , a ) et ( B , b ) .
• • Soit a + b = 0.
( Avec la relation de Chasles ) on obtient:
a vect( MA ) + b vect( MB) = a vect( BA ) = b vect(AB)
C' est un VECTEUR INDEPENDANT DU POINT M.
2. EX. Placer dans un repère orthonormal du plan les point
A( 1 ; 2 ) et B( - 3 ; 1 ).
a. Soit a = 1 et b = 2 .
Placer le point G barycentre des points pondérés (A , a )
( B, b ).
b. Soit a = 1 et b = 1.
Refaire le travail. Que constatez-vous?
Que se passe-t-il quand a = b avec a non nul ?
c. Que pouvez vous dire de l'alignement des points A ,B, G ?
3. EX. Soit les point pondérés ( A , a ) et ( B , b ) du plan ou de l'espace.
Soit a = 3 et b = - 3 .
Soit M un point quelconque de l'espace.
Exprimer a vect( MA) + b vect( MB) sans utiliser M.
4. Définition. Soit deux points pondérés ( A , a ) et B , b ) du plan ( respectivement de l'espace) avec a + b ≠ 0. L'unique point G du plan ( respectivement de l'espace ) tel que a vect(GA) + b vect(GB) égale le vecteur nul est appelé le BARYCENTRE DES POINTS PONDERES ( A , a ) et B , b ) .
5. Propriété fondamentale. ( TRES IMPORTANT POUR LES EX.)
Soit deux points pondérés ( A , a ) et B , b ) du plan
( respectivement de l'espace)
avec a + b ≠ 0. Soit G leur barycentre. Pour tout point M du plan ( respectivement de l'espace ) on a: