INFO  DS n° 4                TS2     Lundi 22 novembre 2010  

                      EXERCICE 1  

                          Soit la fonction f : x → x³ -  6 x² + 1.

                               a. Trouver f( [ 0 ; 4 ] ) .

                               b.  L'équation  f( x ) = - 5  admet-elle une unique solution α dans

                                    l'intervalle [ 0 ; 4 ] ?

                               c. Dans l'affirmative donner un encadrement  de α d'amplitude 10^-1 .

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             Réponse:

                             a.  La fonction polynôme f est définie et dérivable dans [0 ; 4 ].

                                Elle y est donc aussi continue.

                                 Soit x dans [ 0 ; 4].

                                 On a :  f ' ( x ) = 3 x² - 12 x =  3 x ( x - 4 )

                                 On a :       3 x ( x - 4 )  = 0  ssi    x = 0 ou x = 4

                                               3 x ( x - 4 ) <  0     ssi      0 <  x  < 4

                                   Donc :  f ' < 0  sur  l'intervalle ] 0; 4 [.

                                                  f '( 0 ) = 0 = f '( 4 )

                                   La fonction f est strictement décroissante sur [ 0 ; 4 ]

                                    f( 0 ) = 1    et      f( 4 )  =  64 -  96  +1 = - 31

                               Conclusion :     f( [0 ; 4 ]  ) = [ - 31 ; 1 ] 

                           b.   En plus :      - 5 est compris entre f( 0 ) et f( 4 ).

                                  Donc d'après le Th. de la bijection :

                            Conclusion :        L'équation f( x ) = - 5 admet une unique solution   α

                                                          dans l'intervalle [ 0; 4 ] .

                         c.  Encadrons α.

                              A l'aide de la calculatrice en posant    Y1 =   x³ -  6 x² + 1 - ( - 5 )                             

                              le programme DICHO  permet d'obtenir:

                              0,00  ; 4,00          0,00 ; 2,00         1,00; 2,00         1,00;1,50    

                                1,00 ; 1,25         1,00; 1,13   

                              1,06; 1,13                Donc 

                           Conclusion:  L'encadrement  obtenu est   1,06 <  α < 1, 13

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         EXERCICE  2              

                                             Montrer que :

                                             a.      lim ( cos( x ) - 1 ) / x = 0

                                                       x → 0

                                              b.     lim ( sin( 5x )  / sin( 3 x )  ) =  5 / 3

                                                       x → 0

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   Réponse:

                      a.      •  La fonction  x →( cos( x ) - 1 ) / x     est  définie sur  IR*.

                                  0 est une extrémité de ses intervalles de définition.

                                 On peut faire la recherche.

                         •  La fonction cos est dérivable en 0. 

                              cos ' ( 0 ) = - sin ( 0 ) = 0

                             Mais   cos ' ( 0 ) =  lim ( cos( x ) - cos( 0 )  ) / ( x - 0 )  =  lim ( cos( x ) - 1 ) / x

                                                                x → 0                                             x → 0   

                           Conclusion :       

                                                        lim ( cos( x ) - 1 ) / x = 0

                                                       x → 0

                  b.   •  On a :         sin( 3 x )  = 0   ssi     3 x = 0   (    π   )

                                   c-à-d      sin( 3 x )  = 0   ssi      x = 0   (  π / 3 )

                         Le domaine de définition de la fonction est :

                        D = IR - {    k π  / 3     /    k dans Z }

                        Considérons  les intervalles  ] -   π / 3 ;  0 [  et   ]  0  ;   π / 3 [ de D.

                        La fonction x →  sin( 5x )  / sin( 3 x )  est bien définie 

                         sur   ] -   π / 3 ;  0 [ U ]  0  ;   π / 3 [.

                         0 est bien une extrémité des  intervalles considérés

                        du domaine de définition.

                       On peut faire la recherche. 

                 •    Soit  x dans  ] -   π / 3 ;  0 [ U ]  0  ;   π / 3 [.

               On a :  sin( 5 x ) / sin( 3 x )  = ( 5 / 3 )  [  sin( 5 x )  /  ( 5x ) ] / [ sin (3 x ) / ( 3 x ) ]

                    Comme     lim   sin( X )  /  X  = 1    et   lim ( 5 x ) = 0     et   lim  ( 3 x ) = 0

                                          X → 0                                   x → 0                    x → 0 

                   On peut en déduire :

                  lim   sin( 5 x )  /  ( 5x )  = 1

                  x → 0

               et     

                 lim   sin( 3 x )  /  ( 3 x )  = 1

                  x → 0

           Ainsi :  lim ( 5 / 3 )  [  sin( 5 x )  /  ( 5x ) ] / [ sin (3 x ) / ( 3 x ) ] = 5 / 3

                          x → 0         

           Conclusion :      lim ( sin( 5x )  / sin( 3 x )  ) =  5 / 3

                                         x → 0

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                          EXERCICE  3               

                                             Soit la fonction f définie sur IR par :

                                             f(  1 ) = 1

                                             f( x )  = ( x²  - 1 ) / [ ( x - 1 ) √( x²  + 1 ) ]  si  x   ≠ 1

                                            1. Montrer que : 

                                                 f( x ) = ( 1 + 1 / x  )  /  √( 1 + 1 / x²  ) 

                                                 pour tout x dans  ] 0 ; 1 [ U ] 1 ; +  ∞  [ . 

                                            2. Donner la limite de f en  +  ∞ .

                                            3.  f est - elle continue en x = 1 ?

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Réponse:

                       1.  Soit   x dans  ] 0 ; 1 [ U ] 1 ; +  ∞  [ . 

                          On a :    f( x )  = ( x +  1 ) /   √( x²  + 1 )  

                                      c-à-d      f (  x ) =  [ x ( 1 + 1 / x  ) ] /   √( x² ( 1  + 1 / x² )  )

                            c-à-d      f (  x ) =  [ x ( 1 + 1 / x  ) ] /  [ x√( 1 + 1 / x²  ) ]

                           D'où            f( x ) = ( 1 + 1 / x  )  /  √( 1 + 1 / x²  ) 

                       Conclusion : On a bien l'égalité.

                           2.     +  ∞  est bien une extrémité  d'un intervalle du domaine de définition.

                                     On peut faire la recherche.

                                On a :     lim  ( 1 + 1 / x  )  = 1

                                                x  →  +  ∞ 

                                   et              lim    √( 1 + 1 / x²  )  =   √( 1 = 1

                                                   x  →  +  ∞ 

                     Donc    lim   ( 1 + 1 / x  )  /  √( 1 + 1 / x²  )  = 1

                                   x  →  +  ∞ 

                              Conclusion :       lim  f( x ) = 1  

                                                              x  →  +  ∞        

                          3.    Soit   x dans  ] 0 ; 1 [ U ] 1 ; +  ∞  [ . 

                                  On a :    f( x )  = ( x +  1 ) /  √( x²  + 1 )  

                                 En passant à la limite :

                                         lim ( x +  1 ) /  √( x²  + 1 )  = 2 / √2  = √2 

                                         x  →  1

                                    Or     f( 1 ) = 1

                         Donc :       √2  n'est pas égal à  f( 1 )

                          Conclusion :   f  n'est pas continue en 1 

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                           EXERCICE  4         

                                           Soit la fonction g : x   → ( x - 2 )²  sin ( 1 / ( x - 2 ) )                   

                                           définie sur IR - { 2 } .    

                                           Trouver :

                                                          lim g( x ) 

                                                         x → 2

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    Réponse:

                     •    La fonction g est définie sur IR - { 2 } .

                       2 est une extrémité des intervalles  de définition de g.

                      On peut faire la recherche.

                       • Soit x dans ] 0 ; 2 [ U ] 2 ; 3].

                       On a :                  - 1   ≤   sin ( 1 / ( x - 2 ) )    ≤   1

                       Or    ( x - 2 )²  > 0

                       Donc       -   ( x - 2 )²   ≤    ( x - 2 )²  sin ( 1 / ( x - 2 ) )    ≤   ( x - 2 )² 

                      De plus                 lim   ( x - 2 )²  = 0        et        lim  - ( x - 2 )²  = 0

                                                    x → 2                                         x → 2    

                   Donc d'après un Th. d'encadrement  ( Th. des gendarmes ) on a :

           Conclusion :              lim   ( x - 2 )²  sin ( 1 / ( x - 2 ) )  = 0  

                                                 x → 2  

                              c-à-d       lim g( x ) = 0

                                                 x → 2  

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                             EXERCICE  5            4 POINTS

                                        Soit  la fonction  h : x   →  ( x + 1 ) / ( x - 5 )

                                        sur l'intervalle ] 0 ; +  ∞  [.

                                        Soit ( C ) sa courbe dans un repère orthonormal.

                                       On admet e résultat:

                                       <<    Si une fonction  f  est définie et dérivable dans un 

                                       intervalle ouvert I contenant le réel a alors la fonction 

                                        x  → f '( a ) ( x - a ) + f( a )

                                       est une approximation affine de  f  au voisinage de a 

                                       et on écrit  :

                                           f( x )  ≈  f '( a ) ( x - a ) + f( a )     pour x voisin de a     >>

                                  1.  Donner une approximation affine de la fonction h au voisinage de 2.

                                  2. En quoi consiste selon vous une telle approximation affine

                                       pour la courbe ( C ) de h ?

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                          1. Sur l'intervalle ] 0 ; 5 [  la fonction rationnelle h est définie donc dérivable.

                                On a :  h ' : x  →  - 6  / (  x - 5 )²  

                                Ainsi :  h ' ( 2 )  = - 6  / 9 = - 2 / 3   et    h ( 2 ) = 3 / ( - 3 ) = - 1

                              Donc     h' ( 2 )( x - 2 )+ h( 2 ) = ( - 2 / 3 ) ( x - 2 ) - 1

                          Conclusion : Une approximation affine de h est :

                                              h ' : x  →   ( - 2 / 3 ) ( x - 2 ) - 1

                         2. On approche la courbe ( C )  de h  quand x est voisin de 2 par

                            la tangente  T à ( C )  au point d'abscisse 2.