INFO DS 1ES 6 AVRIL 2010
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EXERCICE 1.
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit ( C ) la courbe de f.
Soit la fonction f : x → ( x² - 2x ) / ( x² - 4 x + 3 )
1. Trouver le domaine de définition de f.
Réponse:
x² - 4 x + 3 = 0 admet une racine évidente 1 car 1 - 4 + 3 = 0
L'autre racine est donc c / a = 3 / 1 = 3
Conclusion : D = IR - { 1 ; 3 }
2. Montrer que f ' : x → 2 ( - x² + 3 x - 3 ) / ( x² - 4 x + 3 )²
Les fonctions u : x→ x² - 2x et v : x → x² - 4 x + 3 sont définies et
dérivables dans IR.
De plus v est non nulle dans IR- { 1 ; 3 }.
Ainsi la fonction u / v , c-à-d f , est définie et dérivable dans IR- { 1 ; 3 }.
On a : f ' = ( u / v ) ' = ( v u ' - u v ' ) / v ²
Or u ' : x → - 2 x +3 et v ' : x → 2 x - 4 x
Soit x dans IR- { 1 ; 3 }.
On a : f ' ( x ) = [ ( x² - 4 x + 3 ) ( - 2 x + 3 ) - ( x² - 2x ) ( 2 x - 4 x ) ] / ( x² - 4 x + 3 )²
c-à-d f ' ( x ) = 2 [ ( x² - 4 x + 3 ) ( x - 1 ) - ( x² - 2x ) ( x - 2 x ) ] / ( x² - 4 x + 3 )²
c-à-d f ' ( x ) = 2 [ ( - x² + 4 x - 3 + x3 - 4 x² + 3 x ) - ( x3 - 2x² - 2 x3 + 4 x² ) ] / ( x² - 4 x + 3 )²
c-à-d f ' ( x ) = 2 [ ( - 3 + x3 - 5 x² + 7 x ) - x3 +2x² +2 x3 - 4 x² ] / ( x² - 4 x + 3 )²
c-à-d f ' ( x ) = 2 [ - 3 - 7 x² + 7 x + 2 x3 ] / ( x² - 4 x + 3 )²
c-à-d f ' ( x ) = 2 [ 2 x3 - 7 x² + 7 x - 3 ] / ( x² - 4 x + 3 )²
3. Donner le signe de f '( x ) suivant la valeur de x.
4. En déduire le sens de variation de la fonction f.
On dressera son tableau de variation.
EXERCICE 2.
Le plan est muni d'un repère orthonormal.
Soit la fonction f : x → ( x² - 1 )² / x3 définie dans IR* ,
de courbe représentative ( C ).
Soit la droite D: y = x.
1. Déterminer les points communs éventuels de D et ( C ).
2. Trouver f ' ( x ) pour x dans IR*.
3. Donner le signe de f '( x ) suivant x.
En déduire le sens de variation de f.
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