D

  INFO     DV n° 3     1S1        25 novembre 2009

        PROBLEME    n ° 106       Livre Didier

        1. Indiquons l'intervalle décrit par x.

             On a :    AD = 4    ,   AM = x     et     M dans [AD].

               Conclusion: x décrit l'intervalle [0 ; 4]. 

           a. Indiquons  la nature du triangle BPN.

                   Il est rectangle et isocèle en P.

                    En effet:

                        • Comme le quadrilatère AMNP est un rectangle , les côtés

                           [NP] et [AP] sont orthogonaux.  P est dans [AB].

                           Ainsi l'angle géométrique  est droit.

                          • L'angle BPN vaut 45°.

                                Pour cela établissons que le triangle BHC est rectangle

                               et isocèle en B.

                             En effet:

                                •• Comme ADCH est un rectangle  et H dans [ AB]

                                    le triange BHC  est rectangle en H .

                                 ••  CH = DA = 4  et AH = DC = 2  comme ADCH est un rectangle.   

                                       Ainsi  BH = BA - AH = BA - DC = 6 - 2 = 4

                                       Donc       BH = CH = 4

                                       On a bien  l'angle en B qui vaut 45° .

             b. Déduisons BP en fonction de x.

                   Comme le triangle BPN est isocèle en P on a :  

                                 BP = PN

                    Mais les côtés [PN] et [ AM] du rectangle AMNP sont égaux.

                   Ainsi :       PN = AM = x

                  D'où           BP = x

                          Conclusion:    BP = x           

              c. Montrons que l'aire du rectangle AMNP est :  f( x ) = - x² + 6 x

                        L'aire du rectangle AMNP est : f( x ) = AM × AP

                        On a :  AM = x

                        De plus    AP = AB - BP   sachant P est dans [AB].

                        AB = 6    et  BP = x

                        D'où     AP = 6 - x

                       Ainsi :    f( x ) = x × ( 6 - x ) = - x² + 6 x

                       Conclusion:   f( x ) = - x² + 6 x   

           d. Dressons le tableau de variation de la fonction f

             définie sur [0 ; 4 ].

                           On a:     f( x ) = a x² + b x + c   pour tout x dans  [ 0 ; 4 ]

                          avec :   a = - 1       b  =  6           c = 0

                                                          b' = 3 

                            Ainsi:    a < 0

                         - b / ( 2a ) = - b' / a = - 3 / ( - 1 ) = 3 

                            Δ' = b' ² - a c  

                            Δ' = 9 

                           - Δ / (4a) = - Δ' / a =  - 9 / ( - 1)

                          - Δ / (4a)  =   9             

x 0            3              4
f( x ) 0      ↑     9      ↓      8

                               f atteint son maximum 9 pour x = 2

                   3. a. Calculons l'aire du trapèze rectangle ABCD.

                        Son aire est:       A( x ) = [( AB + DC ) / 2  ] ×  AD

                        c-à-d                    A( x ) = [ ( 6 + 2 ) / 2  ] ×  4 = 16

                           Conclusion:   L'aire du trapèze ABCD est 16. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    b. En dédire que l'aire g( x ) du triangle BMC est g( x ) = 12 - 2 x .

                        On a : aire ( BMC ) = aire( ABCD ) - aire( MDC ) - aire (ABM)

                       Le triangle MDC est rectangle en D.

 

                           Aire ( MDC ) =( MD× DC ) / 2  = ( ( 4 - x ) × 2) / 2  =  4 - x

                        Le triangle ABM  est rectangle en A.

                              Aire ( ABM ) =( AB× AM ) / 2  =( 6 × x) / 2  = 3 x

                      Ainsi :   Aire ( BMC ) = 16 - ( 4 - x ) - 3 x = 12 - 2 x

                                  Conclusion:  g( x ) = 12 - 2 x      avec x dans [ 0 ; 4 ]

               4. Traçons les courbes des fonctions f et g sur l'intervalle [ 0 ; 4 ]

 

               5. Déterminons les valeurs de x telles que :    

                  a.L'aire du rectangle AMNP soit maximale.

                      D'après le tableau de variation de f , on a l'aire du rectangle

                       AMNP qui est maximale quand x = 2  et  ce maximum est   9 .

                   Conclusion:   Pour x = 2 l'aire du rectangle AMNP est maximale. 

                   b. Le rectangle AMNP et le triangle BMC soient de même aire.

                          Par le calcul.

                          Soit  x dans [ 0 ; 4 ].

                       Imposons :     f( x ) = g( x )        

                       c-à-d                 - x² + 6 x = 12 - 2 x

                       c-à-d                 x² - 8 x + 12 = 0

                        Résolvons dans [ 0 ; 4] cette équation.

                        On  a :

                                     Δ' = b' ² - ac

                                     Δ' =  ( - 4 ) ² - 12 = 16 - 12 = 4

                                     Δ' > 0

                        Les deux racines distinctes sont:

                                ( - b' - √Δ' ) / a = ( 4 - 2 ) / 1 = 2      Accepté

                               ( - b' + √Δ' ) / a = ( 4 + 2 ) / 1 = 6     Refusé

                           Conclusion:   C'est pour x = 2  que l'aire du rectangle AMNP est

                                                   est égale à celle du triangle BMC. 

                 c. L'aire du rectangle AMNP soit supérieure à celle du triangle BMC.

                                  Par le calcul.

                          Soit  x dans [ 0 ; 4 ].

                       Considérons:     f( x )  > g( x )        

                       c-à-d                 - x² + 6 x  >  12 - 2 x

                       c-à-d                 x² - 8 x + 12  < 0

                      a = 1  

                     Donc a > 0  . Nous voulons que  x² - 8 x + 12   soit du signe de - a.

                     Nous devons prendre x entre les racines en les refusant

                     avec la condition x dans [ 0 ; 4 ].

                      c-à-d       2 < x < 6   et   0  ≤   x  ≤  4

                       c-à-d      x  est dans ] 2 ; 4 ]

                                           Conclusion:     x est dans ] 2 ; 4 ]       

 

 

 

 

 

 

 

                        •  Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représete la fonction f  a son sommet

                           d'abscisse x = 2.

                          •  Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représete la fonction f  coupe la

                              droite qui représente  la fonction g en un point dont l'abscisse est 2.

                                •  Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représente la fonction f   est au dessus de la

                           droite qui représente  la fonction g  sur ] 2 ; 4 ].

 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 

                       6. Expliquons comment retrouver graphiquement ces résultats.