NOM : X PRENOM: X ......................DATE: 2010 Classe: 1S1
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Soit g( x ) = 2 √x - 1 avec x ≥ 0. Donner le signe de g( x ) suivant x dans IR+ .
Soit x dans IR+ .
On a :
2 √x - 1 = 0 s'écrit √x = 1 / 2 c-à-d x = 1 / 4
Sachant que la fonction x → x² est croissante sur l'intervalle [ 0 , + ∞[
. 2 √(x) - 1 > 0 s'écrit √x > 1 / 2 puis x > 1 / 4
Ainsi on peut remplir le tableau de signes :
| x | 0 1 / 4 + ∞ |
| g(x ) | - 0 + |
• • Trouver f '( x ) pour tout x dans IR+ *.
. La fonction f : x → x - √x est définie sur IR+ et dérivable sur IR+* comme √ .
On a : f ' : x → 1 - 1 / ( 2√x )
c-à-d f ' : x → ( 2 √x - 1 ) / ( 2√x )
• • Donner le tableau de variation de f.
Comme ( 2√x ) > 0 pour tout x dans IR+*
f ' ( x ) est du signe de 2 √(x) - 1 pour tout x dans IR+* .
On a : f ( 1 / 4 ) = 1 / 4 - √ (1 / 4 ) = 1 / 4 - 1 / 2 = - 1 / 4
| x | 0 1/ 4 + ∞ |
| f '( x ) | || - 0 + |
| f( x ) | ↓ - 1 / 4 ↑ |
• • Trouver lim [√(x) ( √(x) - 1 ) ] .
x → + ∞
. On a : lim √ x = + ∞
x → + ∞
Donc lim [( √x - 1 ) ] = + ∞
x → + ∞
Ainsi pour le produit on a :
lim [√(x) ( √(x) - 1 ) ] = + ∞
x → + ∞
• • Donner lim f( x ) .
x → + ∞
. Soit x > 0 .
On a : f ( x ) = x - √x = √(x) ( √(x) - 1 )
c-à-d f ( x ) = √(x) ( √(x) - 1 )
Donc :
---------------------------------------------------------------------------
• Soit la fonction h: x → ( - x² + x + 1 ) / ( x + 1 ) définie sur IR- { - 1 }.
• • Donner lim - 1 / ( x + 1 ).
x → + ∞
. On a : lim - 1 / ( x + 1 ) = - 1 / ( + ∞ ) = 0
x → + ∞
Ainsi : lim - 1 / ( x + 1 ) = 0
• Soit x dans ]- ∞ , - 1 [ .
On a : x < - 1 c-à- d x + 1 < 0 Donc - 1 / ( x + 1 ) > 0
c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) > 0
Ainsi ( C ) est au dessus de la droite D : y = - 2 x + 2 sur l'intervalle ] - ∞ , , - 1 [ .
• • Montrer que h ' : x → - ( x² + 2 x ) / ( x + 1 )² sur IR- { - 1 }. Comme fonction rationnelle définie dans IR - { - 1 } , h est dérivable dans IR - { - 1 } . Soit x dans IR - { - 1 } . On a : h( x ) - ( - x + 2 ) = - 1 / ( x + 1 ) c-à-d h( x ) = - x + 2 - 1 / ( x + 1 ) En considérant v : x → x + 1 définie , dérivable et non nulle sur IR - { - 1 } on a v ' : x → 1 et ( 1 / v ) ' = - v ' / v² . Ainsi : h '( x ) = - 1 - ( - 1 / ( x + 1 )² ) c-à-d h '( x ) = - 1 + 1 / (x + 1 )² c-à-d h '( x ) = [ - ( x + 1 )² + 1 ] / ( x + 1 )² c-à-d h ' ( x ) = ( 1 + x + 1) ( 1 - ( x +1 ) ) / ( x + 1 )² c-à-d h ' ( x ) = - x ( x + 2 ) / ( x + 1 )² . On a bien : h ' : x → - ( x² + 2 x ) / ( x + 1 )² sur IR- { - 1 }. • • Donner le signe de h ' ( x ) suivant x dans IR- { - 1 }. ( x + 1 )² > 0 pour tout x dans IR- { - 1 }. . Donc : h ' ( x ) est du signe de - x ( x + 2 ) pour tout x dans IR- { - 1 }. •• La droite D: y = - x + 2 est-elle une asymptote à la courbe ( C ) de h en + ∞ ? Soit x > 0 . On a : h( x ) - ( - x + 2 ) = ( - x² + x + 1 ) / (x + 1 ) - ( - x + 2 ) c-à-d par réduction au même dénominateur h( x ) - ( - x + 2 ) = [ - x² + x + 1 - ( - x+ 2 )( x + 1 ) ] / ( x + 1 ) c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) = [ - x² + x + 1 - ( - x² + x + 2 ) ] / ( x + 1 ) c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) = [ - x² + x + 1 + x² - x - 2 ) ] / ( x + 1 ) c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) = - 1 / (x + 1 ) Or lim - 1 / ( x + 1 ) = 0 x → + ∞ Ainsi : lim ( h( x ) - ( - x + 2 ) ) = 0 x → + ∞ Donc : OUI. La droite D: y = - x + 2 est une asymptote à la courbe ( C ) de h en + ∞ • • Donner les positions relatives de ( C ) et D sur IR- { - 1 }. . • Soit x dans ] - 1 , + ∞[ . On a : x > - 1 c-à- d x + 1 > 0 Donc - 1 / ( x + 1 ) < 0 . c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) < 0 Ainsi ( C ) est en dessous de la droite D : y = - 2 x + 2 sur l'intervalle ] - 1 , + ∞[ .
Ainsi: Si x < - 2 ou x > 0 alors h ' ( x ) <0
Si - 2 < x < -1 ou - 1 < x < 0 alors h '( x ) > 0
h ' ( 0 ) = 0 et h ' ( - 2 )= 0
• • En déduire le sens de variation de h sur IR- { - 1 }.
| x | - ∞ - 2 - 1 0 + ∞ |
| h ' (x) | - 0 + || + 0 - |
| h ( x ) | ↓ 5 ↑ || ↑ 1 ↓ |
• • Montrer que le point H( - 1 ; 3 ) est un centre de symétrie de la courbe ( C ) .
Prenons H comme nouvelle origine.
Posons pour cela : x = - 1 + X
y = 3 + Y
Reportons dans l'équation de ( C )
y = - x + 2 - 1 / ( x + 1 ) avec x dans IR - { - 1 }.
On obtient : 3 + Y = - ( - 1 + X ) + 2 - 1 / ( - 1 + X + 1 ) avec X dans IR*
c-à-d 3 + Y = 1 - X + 2 - 1 / X avec X dans IR*
c-à-d Y = - X - 1 / X avec X dans IR* .
La fonction g : X → - X - 1 / X est impaire.
En effet:
• Dg = IR* centré en 0.
• Soit X dans IR* quelconque.
g( - X ) == - g (X )
car:
g( - X ) = - ( - X ) - 1 / ( - X ) = - [ - X - 1 / X ] = - g (X )
Ainsi le point H ( - 1 ; 3 ) , nouvelle origine, est bien un centre de symétrie de la courbe de g
c-à-d de la courbe ( C ).
-------------------------------------------------------
• • Montrer que h ' : x → - ( x² + 2 x ) / ( x + 1 )² sur IR- { - 1 }.
Comme fonction rationnelle définie dans IR - { - 1 } , h est
dérivable dans IR - { - 1 } .
Soit x dans IR - { - 1 } .
On a : h( x ) - ( - x + 2 ) = - 1 / ( x + 1 )
c-à-d h( x ) = - x + 2 - 1 / ( x + 1 )
En considérant v : x → x + 1 définie , dérivable et non nulle sur IR - { - 1 }
on a v ' : x → 1 et ( 1 / v ) ' = - v ' / v² .
Ainsi : h '( x ) = - 1 - ( - 1 / ( x + 1 )² )
c-à-d h '( x ) = - 1 + 1 / (x + 1 )²
c-à-d h '( x ) = [ - ( x + 1 )² + 1 ] / ( x + 1 )²
c-à-d h ' ( x ) = ( 1 + x + 1) ( 1 - ( x +1 ) ) / ( x + 1 )²
c-à-d h ' ( x ) = - x ( x + 2 ) / ( x + 1 )²
. On a bien : h ' : x → - ( x² + 2 x ) / ( x + 1 )² sur IR- { - 1 }.
• • Donner le signe de h ' ( x ) suivant x dans IR- { - 1 }.
( x + 1 )² > 0 pour tout x dans IR- { - 1 }.
. Donc : h ' ( x ) est du signe de - x ( x + 2 ) pour tout x dans IR- { - 1 }.
•• La droite D: y = - x + 2 est-elle une asymptote à la courbe ( C ) de h en + ∞ ?
Soit x > 0 .
On a : h( x ) - ( - x + 2 ) = ( - x² + x + 1 ) / (x + 1 ) - ( - x + 2 )
c-à-d par réduction au même dénominateur
h( x ) - ( - x + 2 ) = [ - x² + x + 1 - ( - x+ 2 )( x + 1 ) ] / ( x + 1 )
c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) = [ - x² + x + 1 - ( - x² + x + 2 ) ] / ( x + 1 )
c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) = [ - x² + x + 1 + x² - x - 2 ) ] / ( x + 1 )
c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) = - 1 / (x + 1 )
Or lim - 1 / ( x + 1 ) = 0
x → + ∞
Ainsi : lim ( h( x ) - ( - x + 2 ) ) = 0
x → + ∞
Donc : OUI. La droite D: y = - x + 2 est une asymptote à la courbe ( C ) de h en + ∞
• • Donner les positions relatives de ( C ) et D sur IR- { - 1 }.
. • Soit x dans ] - 1 , + ∞[ .
On a : x > - 1 c-à- d x + 1 > 0
Donc - 1 / ( x + 1 ) < 0
. c-à-d h( x ) - ( - x + 2 ) < 0
Ainsi ( C ) est en dessous de la droite D : y = - 2 x + 2 sur l'intervalle ] - 1 , + ∞[ .