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INFO EXERCICE 2 BTS SESSION 2009
EXERCICE 2
Partie A.
X est une v.a.r. de loi normale N( 44 ; 0,2 ).
1. Nous voulons en fait calculer P( X < 44,3 ).
Prenons la v.a.r. T = ( X - 44 ) / 0,2
T est une v.a.r centrée réduite . Elle est de loi normale N ( 0 ; 1 ).
On a : P( X < 44,3 ) = P( ( X - 44 ) / 0,2 < ( 44,3 - 44 ) / 0,2) )
c-à-d P( X < 44,3 ) = P( T < 0,3 / 0,2 )
c-à-d P( X < 44,3 ) = P( T < 1,5 ) = ∏( 1,5 )
Avec la table on obtient:
Conclusion: P( X < 44,3 ) ≈ 0,9332
2. Nous voulons obtenir en fait P( 43,8 < X < 44,3 ).
On a : P( 43,8 < X < 44,3 ) =P( (43,8 - 44) / 0,2 < T < (44,3 - 44 ) / 0,2 ).
c-à-d P( 43,8 < X < 44,3 ) =P( - 0,2 / 0,2 < T < 0,30 / 0,2 )
c-à-d P( 43,8 < X < 44,3 ) = P( - 1 < T < 1,5 )
c-à-d P( 43,8 < X < 44,3 ) = ∏( 1,5 ) - ∏( - 1 )
c-à-d P( 43,8 < X < 44,3 ) = ∏( 1,5 ) - ( 1 - ∏( 1 ))
c-à-d P( 43,8 < X < 44,3 ) = ∏( 1,5 ) + ∏( 1 )) - 1
c-à-d P( 43,8 < X < 44,3 ) ≈ 0,9332 + 0,8413 -1
Conclusion: P( 43,8 < X < 44,3 ) ≈ 0,7745
Partie B.
1. a. Expliquons pourquoi Y suit la loi binomiale B( 10 ; 0,05 ).
On répète, de façon indépendante 10 fois une épreuve de Bernoulli
dont les issues sont: " non conforme" , " conforme" avec
0,05 la probabilité de " non conforme".
Comme Y indique le nombre de bonbonnes non conformes parmi les
bonbonnes tirées elle suit la loi binomiale B( 10 ; 0,05 ).
b. Nous voulons P( X = 0 ).
P( X = 0 ) = ( 1 - 0,05)10
Conclusion: P( X = 0 ) ≈ 0,5987
c. Nous voulons P( X =< 2).
P( X =< 2) = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) + P( X = 2 )
On a : P( X = 1 ) = 10 × 0,05 × ( 1 - 0,05)9 .
c-à-d P( X = 1 ) ≈ 0,3151
On a : P( X = 2 ) = C10 2 × 0,05² ×( 1 - 0,05)8 .
P( X = 2 ) ≈ 0,0746
Conclusion: P( X =< 2) ≈ 0,9884
2. a.Donnons l'espérance de Y' qui est de loi binomiale B( 100 ; 0,05).
On a : E( Y' ) = 100 × 0,05 = 5
Conclusion : E( X ) = 5
b. Donnons la valeur de λ.
λ = E( Y' ) car Z prolonge Y'.
Conclusion : λ = 5
c. Calculons P( Z =< 4 ).
D'après la table de Poisson on a:
P( Z =< 4 ) ≈ 0,007 + 0,034 + 0,084 + 0,140 + 0,176 + 0,176
Conclusion: P( Z =< 4 )≈ 0,6170
c-à-d P( Z> 4 ) ≈ 1 - 0,6170
c-à-d P( Z>= 5 ) ≈ 0,3830
0,3830 < 0,5
L'affirmation P( Z>= 5 ) > 0,5 est donc fausse
Conclusion : L'association de cosommateurs a tort.
Partie C.
1. Faisons un arbre.
On a: P( C ) = 0,95 car P( C ) = 1 - P ( )
P( ) = 0,05 car 5% des bonbonnes sont non conformes
P( A / C ) = 0,96 traduction de la phrase de texte
P (/ ) = 0,92 traduction de la phrase de texte
2. Calcul de P( A ∩ C ).
P( A ∩ C ) = P( C ) P( P( A / C )
c-à-d P( A ∩ C ) = 0,95 × 0,96 = 0,9120
Conclusion : P( A ∩ C ) = 0,9120
3. Calcul de P( A ).
On a : A = ( A ∩ C ) U ( A ∩ )
Mais ( A ∩ C ) , ( A ∩ ) sont disjoints.
Donc:
P( A ) = P( A ∩ C ) + P( A ∩ )
c-à-d P(A ) = 0,9120 + P( ) P( / )
P(A ) = 0,9120 + 0,05 × 0,08 = 0,9160
Conclusion : P( A ) = 0,9160
4. Calcul de P( / ).
P( / ) = P( ∩ ) / P( )
c-à-d P( / ) = P( ) P( / ) / ( 1 - P ( A ) )
c-à-d P( / ) = 0,05 × 0,08 / ( 1 - 0,9160)
Conclusion : P( / ) = 0,0476
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