INFO EX2 SESSION BTS 2009

C 

 INFO    EXERCICE 2     BTS  SESSION 2009

             EXERCICE 2

           Partie A.

              X est une v.a.r. de loi normale N( 44 ; 0,2 ).

             1. Nous voulons en fait calculer P( X < 44,3 ).

                Prenons la v.a.r.     T =  ( X - 44 ) / 0,2

               T  est une v.a.r centrée réduite . Elle est de loi normale N ( 0 ; 1 ).

                 On a :  P( X < 44,3 ) = P( ( X - 44 ) / 0,2   < ( 44,3 - 44 ) / 0,2) )

             c-à-d    P( X < 44,3 ) = P( T < 0,3 / 0,2 )

                c-à-d    P( X < 44,3 ) = P( T < 1,5 ) = ∏( 1,5 )

                Avec la table on obtient:

               Conclusion:   P( X < 44,3 ) ≈ 0,9332 

                2. Nous voulons obtenir en fait P( 43,8 < X < 44,3 ).

                   On a :  P( 43,8 < X < 44,3 ) =P( (43,8 - 44) / 0,2 < T < (44,3 - 44 ) / 0,2 ).

                      c-à-d     P( 43,8 < X < 44,3 ) =P( - 0,2 / 0,2 < T < 0,30 / 0,2 )

                      c-à-d    P( 43,8 < X < 44,3 ) = P( - 1 < T < 1,5 )

                      c-à-d    P( 43,8 < X < 44,3 ) =   ∏( 1,5 ) -  ∏( - 1 )

                      c-à-d    P( 43,8 < X < 44,3 ) =   ∏( 1,5 ) -  ( 1 - ∏(  1 ))

                      c-à-d    P( 43,8 < X < 44,3 ) =   ∏( 1,5 ) + ∏(  1 )) - 1

                      c-à-d     P( 43,8 < X < 44,3 ) ≈   0,9332 + 0,8413 -1

                         Conclusion:      P( 43,8 < X < 44,3 ) ≈  0,7745

                      Partie B.

                    1. a. Expliquons pourquoi Y suit la loi binomiale B( 10 ; 0,05 ).

                               On répète, de façon indépendante 10 fois une épreuve de Bernoulli

                              dont les issues sont: " non conforme" , " conforme" avec  

                               0,05  la probabilité de " non conforme".

                              Comme Y indique le nombre de bonbonnes non conformes parmi les

                                 bonbonnes tirées elle suit la loi binomiale B( 10 ; 0,05 ).

                              b. Nous voulons P( X = 0 ).

                                    P( X = 0 ) = ( 1 - 0,05)10       

                                     Conclusion:   P( X = 0 ) ≈ 0,5987

                               c. Nous voulons P( X =< 2).

                                     P( X =< 2) =  P( X = 0 ) + P( X = 1 ) + P( X = 2 )

                                       On a :  P( X = 1 ) = 10 ×  0,05 × ( 1 - 0,05)9   .

                                       c-à-d     P( X = 1 ) ≈ 0,3151

                                        On a :   P( X = 2 ) =  C10 2   ×  0,05² ×( 1 - 0,05)8  .

                                                        P( X = 2 ) ≈  0,0746

                                       Conclusion:   P( X =< 2)  ≈ 0,9884

                  2. a.Donnons l'espérance de Y'  qui est de loi binomiale B( 100 ; 0,05).

                       On a :    E( Y' ) = 100 × 0,05 = 5

                                Conclusion : E( X ) = 5

                      b. Donnons la valeur de λ.

                                  λ =  E( Y' )   car Z prolonge Y'.

                                 Conclusion :  λ = 5

                       c.  Calculons P( Z =< 4 ).

                              D'après la table de Poisson on a:

                                P( Z =< 4 ) ≈ 0,007 + 0,034 + 0,084 + 0,140 + 0,176 + 0,176

                                       Conclusion:     P( Z =< 4 )≈ 0,6170

                            c-à-d  P( Z> 4 ) ≈ 1 -  0,6170

                              c-à-d  P( Z>= 5 ) ≈ 0,3830

                                  0,3830 < 0,5 

                  L'affirmation  P( Z>= 5 ) > 0,5   est donc fausse

                        Conclusion : L'association de cosommateurs a tort.

  Partie C.

              1.     Faisons un arbre.    

        

      On a:     P( C ) = 0,95      car   P( C ) = 1 - P (  )

                    P( ) = 0,05       car  5% des bonbonnes sont non conformes

                     P( A  / C ) =  0,96         traduction de la phrase de texte

                     P (/  ) = 0,92           traduction de la phrase de texte

               2. Calcul de P( A ∩ C ).

                   P( A ∩ C ) = P( C )  P(  P( A  / C )

                  c-à-d      P( A ∩ C ) = 0,95  ×  0,96   = 0,9120

                    Conclusion :     P( A ∩ C ) =  0,9120       

                 3. Calcul de P( A ).

                        On a :  A = ( A ∩ C ) U  ( A ∩  )

                       Mais  ( A ∩ C )  , ( A ∩  ) sont disjoints.

                       Donc:

                        P( A ) =  P( A ∩ C ) +  P( A ∩  )

               c-à-d   P(A ) = 0,9120 +   P(   ) P( / ) 

                         P(A ) = 0,9120 + 0,05 × 0,08 = 0,9160

                            Conclusion :     P( A  ) =  0,9160                            

                     4.  Calcul de P(    / ).

                              P(    / ) =   P(     ∩   ) /   P( )

                   c-à-d      P(    / ) =  P(   ) P( / )   / ( 1 - P ( A ) )

                    c-à-d      P(    / ) =  0,05 ×  0,08   / ( 1 -  0,9160)

                            Conclusion :   P(    / ) =  0,0476

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