INFO 3 DV n° 6 1S1 DU 17/02/10

                                            INFO    DV n° 6            1S   17 février 2010        

                                   EXERCICE I I I                                  

                  Partie    A 

                            

 

                           Soit ABCD un rectangle de centre le point O.

                          Soit M un point quelconque du plan.

                     1. Etablir l'égalité :  MA² + MC² = MB² + MD²      ( 1 )

 

                         On a d'après le cours:

                                                  MA² + MC² = 2 MO² + AC² / 2

                                                 MB² + MD²    = 2 MO² + BD² / 2 

                          sachant que le point O est le milieu des segments [AC] et [BD].

                      Or AC = BD sachant que ABCD est un rectangle.

                      Ainsi : 

                             Conclusion : On a bien l'égalité   MA² + MC² =   MB² + MD²        

 

                     2. Montrer que :

                                   vect( MA ). vect (MC ) = vect( MB ) . vect(MD )      ( 2 )

 

                         On a d'après le cours: 

                       vect( MA ). vect (MC ) = MO²  -  AC² / 4

                        vect( MB ). vect (MD ) =MO²  - BD² /  4

 

 

                        sachant que le point O est le milieu des segments [AC] et [BD].

       ( Cela se démontre à l'aide de chasles et le point O. 

         vect( MA ). vect (MC ) = [ vect( MO )+ vect (OA)  ] . [ vect (MO )- vect( OA) ]   

 et     vect( MB ). vect (MD )  =    [ vect( MO )+ vect (OB)  ] . [ vect (MO )- vect( OB) ]     )

                        Or AC = BD sachant que ABCD est un rectangle.

                         Ainsi on a       vect( MA ). vect (MC ) = vect( MB ) . vect(MD ) 

                             Conclusion :      vect( MA ). vect (MC ) = vect( MB ) . vect(MD )      

 

                  Partie B    

                           A présent ABCD est un paralélogramme de centre O.

                          1. L'égalité (  1 ) permet -elle de dire que ABCD est un rectangle?

 

                                OUI  

 

 

                            ABCD est un paralélogramme de centre O.

                              On a :