INFO 1 DS n° 6 1S1 17/02/10

                        INFO     DS n° 6               1S1   mercredi 17 février 2010            

                         EXERCICE 1        8 POINTS
              Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O; vect( i ) , vect j ) ).
              Unité graphique : 2 cm
              Soit la fonction f : x → ( x² - x + 1 ) / x  définie sur IR*. 
              Soit ( C ) la courbe de la fonction f .
        1. Trouver trois réels a , b , c tels que :  f( x ) = a x + b + c / x   pour tout x dans IR* .

            On a en divisant par le réel non nul x chaque terme de x² - x + 1 il vient :

             ( x² - x + 1 ) / x  = x - 1 + 1 / x    pour tout réel x non nul.

              Donc   f( x ) =  x - 1 + 1 / x       pour tout réel x non nul.

            Conclusion:    a = 1       b = - 1     c = 1    
 
        2. On sait, d'après le cours :
               • La fonction affine x→  a x + b    admet pour fonction dérivée la fonction sur x→ a  sur IR.
               • La fonction inverse admet comme fonction dérivée sur  IR* la fonction x →  - 1 /x²   . 
               • Sur un intervalle I la fonction dérivée d'une somme de deux fonctions dérivables est
                  la somme des fonctions dérivées des deux fonctions.

                   On désigne par f ' la fonction dérivée de la fonction f sur IR*.
                   Montrer que f '( x ) = ( x² - 1 ) / x²  pour tout x dans IR*.

                  Soit x dans IR*.

                On a :       f( x ) = u( x ) + v( x )      avec   u( x ) = x - 1   et  v( x ) = 1 / x

                 Les fonctions u et v sont définies et dérivables dans IR*.

                On a :    u ' ( x ) = 1  et  v ' ( x )  - 1 / x²

                 Donc :    f ' ( x ) = u ' ( x ) + v ' ( x )  

                 c-à-d          f '( x ) = 1 +  ( - 1 / x² )

                 c-à-d      f ' ( x ) = ( x² - 1 ) / x² 

             Conclusion:    f '( x ) = ( x² - 1 ) / x²  pour tout x dans IR*.              

         3. Donner le signe de f ' ( x  ) suivant x dans  IR*.

                   ( x² - 1 ) / x²    est du signe de ( x - 1 ) (x + 1 ) pour tout x dans IR*.

                  Or  ( x - 1 ) (x + 1 )  est un trinome du second degré qui s'annule pour x = - 1 ou x = 1.

                   Le coefficient de x² est 1.

                    Ainsi :  

        4. On admet que si sur un intervalle I la fonction dérivée d'une fonction est positive
             ( respectivement négative ) alors la fonction est croissante sur I ( respectivement

              décroissante sur I ) .

            Donner le sens de variation de f .

             • Comme f '( x) ≥ 0 pour tout  x dans les intervalles  ] - ∞  ,  - 1 ]  et  [ 1 ,  +∞ [ :

               f est croissante sur les intervalles  ] - ∞  ,  - 1 ]  et [ 1 ,  +∞ [    

              • Comme f '( x) ≤ 0 pour tout  x dans les  intervalles [ -1 , 0 [ et ]0 , 1 ]:

                   f est décroissante sur les intervalles [ -1 , 0 [ et ] 0 , 1 ]:       

         5. On note Δ la droite, tangente à la courbe ( C ) , au point d'abscisse 1.

            Quel est son coefficient directeur ? Donner une équation de cette droite  Δ.

             On a  f '( 1 ) = 0 . 

             Le coefficient directeur de Δ est 0.   

             La tangente est horizontale.  Tous lespoints de Δ ont pour ordonnée f( 1) = 1

                 Une équation de Δ est  y = 1         

        6. Parmi les courbes suivantes indiquer celle de f.

                 La bonne courbe de f est celle de la figure 1 .

           Puis reproduire celle de la fonction f sur IR*⁺ ?

                                              Figure 1     C_k

                                     Figure 2     C_h

                                   Figure 3     C_ρ

       7. a. Trouver une équation de la tangente T à la courbe ( C ) au point A( 2 ; 1,5).

                   Considérons :    y = f '( 2 ) ( x - 2) + f( 2 )

                   On a :  f( 2 ) = 3 / 2 = 1 , 5

                              f ' ( 2 ) =( 2² - 1 ) / 2² = 3/ 4

                 En reportant il vient :   y = 0,75 (  x - 2 ) + 1 , 5

                                   c-à-d           y = 0 , 75 x - 1, 5 + 1, 5

                   Conclusion : On a  T : y = 0,75 x    

           b. T passe-t-elle par l'origine O ? par le point A ?  OUI  

                         Elle passe par A car c'est la tangente en A .      

             Elle passe par l'origine O car l'ordonnée à l'origine est nulle.    
 

               Tracer T.          Il suffit de tracer la droite ( OA) 
           c. Donner une équation de la droite D' passant par le point A et orthogonale à T.

                       On a : D ' y = m x + p

                       Comme T et D ' sont perpendiculaires on a    ( 3 / 4 ) × m = - 1   .

                      Ainsi:   m = - 4 / 3

                     Le coordonnées du point  A( 2 ; 1,5) vérifient l'équation de D '.

                       Donc       3 / 2 = - 4 / 3 ( 2 ) + p

                        c-à-d       p =  ( 3 / 2 )  + ( 8 / 3 )   = ( 9+16 ) / 6 =25 / 6

                           Conclusion:  D ' :  y = ( - 4 / 3  )  x +  25 / 6   
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                 EXERCICE 2              5 POINTS

                     Soit la fonction g : x→  2 x³ - 3 x² -  36 x + 1.

         1.a. Trouver la fonction dérivée g ' de la fonction g.
            b. Montrer que g' ( x ) = 0  ssi    x² -  x - 6 = 0 , pour tout dans IR.
         2. Donner le signe de  g '( x )  suivant x dans  IR.
         3. a. Calculer g( 1 ) et  g ' ( 1).
             b. On rappelle que :  g( 1 + h ) ≈ g( 1 ) + h g' ( 1 ) pour h voisin de 0.
                 En déduire une approximation affine de g( 1,2 ).
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                  EXERCICE 3         7 POINTS
                      Le plan est muni d'un repère orthonormal direct  ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
              Soit les points A( -2 ,0 ), B ( 2 , 0) et C ( 0 , 2√3 ).
              Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , 2 ).
              Soit G ' le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( B , - 2 ).

           1. Faire une figure.

           2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

           3. a. Donner une équation de la médiatrice du segment [AC].

               b. Trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle ABC.

           4. Soit le point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

               Donner les coordonnées du point D.

           5. Déterminer et représenter l'ensemble W des points M du plan tels que :

                     ( vect( MA ) + 2 vect( MB ) ).  ( vect( MA ) - 2 vect( MB ) )  = 0 


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               EXERCICE             Facultatif , hors barème, de découverte, s'il vous reste du temps.

                   Il existe une fonction ln , notée LN sur une touche de la calculatrice.
                   La fonction ln est définie et dérivable sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ et
                   l'on a :     ln '( x ) = 1 / x  pour tout x dans  ] 0 , + ∞ [ .
                                   ln( 1 ) = 0
             1.a. Quel est le signe de ln'( x ) suivant x dans   ] 0 , + ∞ [ ?
                b. En déduire le sens de variation de la fonction ln.
                c. Puis donner le signe de ln( x ).
              2. Soit la fonction f : x → x + ln( x ) définie et dérivable sur  ] 0 , + ∞ [.
                  a. Trouver la fonction dérivée f ' de f.
                  b. Donner le signe de f ' ( x ) suivant x dans  ] 0 , + ∞ [.
                  c. En déduire le sens de variation de la fonction f.
                  d. Donner une équation de la tangente T à la courbe de la fonction f

                      au point d'abscisse 1.
                3. Soit la fonction g : x→ x ln( x )  - x  définie et dérivable sur  ] 0 , + ∞ [.
                    a. Avec la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions u , v définies
                        et dérivables dans un intervalle I, ( u v )' = u v' + u' v
                        c-à-d , ( u v )'(x) = u( x ) v'( x ) + u'( x ) v( x )  pour tout x dans I,
                        montrer que g '  = ln   sur  ] 0 , + ∞ [.
                   b. Déduire du 1.c. le signe de g '( x ) suivant x dans  ] 0 , + ∞ [..
                   c. Puis donner le sens de variation de g.

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