INFO DV n° 3 1S1 25 novembre 2011
PROBLEME n ° 106 Livre Didier
1. Indiquons l'intervalle décrit par x.
On a : AD = 4 , AM = x et M dans [AD].
Conclusion: x décrit l'intervalle [0 ; 4].
a. Indiquons la nature du triangle BPN.
Il est rectangle et isocèle en P.
En effet:
• Comme le quadrilatère AMNP est un rectangle , les côtés
[NP] et [AP] sont orthogonaux. P est dans [AB].
Ainsi l'angle géométrique est droit.
• L'angle BPN vaut 45°.
Pour cela établissons que le triangle BHC est rectangle
et isocèle en B.
En effet:
•• Comme ADCH est un rectangle et H dans [ AB]
le triange BHC est rectangle en H .
•• CH = DA = 4 et AH = DC = 2 comme ADCH est un rectangle.
Ainsi BH = BA - AH = BA - DC = 6 - 2 = 4
Donc BH = CH = 4
On a bien l'angle en B qui vaut 45° .
b. Déduisons BP en fonction de x.
Comme le triangle BPN est isocèle en P on a :
BP = PN
Mais les côtés [PN] et [ AM] du rectangle AMNP sont égaux.
Ainsi : PN = AM = x
D'où BP = x
Conclusion: BP = x
c. Montrons que l'aire du rectangle AMNP est : f( x ) = - x² + 6 x
L'aire du rectangle AMNP est : f( x ) = AM × AP
On a : AM = x
De plus AP = AB - BP sachant P est dans [AB].
AB = 6 et BP = x
D'où AP = 6 - x
Ainsi : f( x ) = x × ( 6 - x ) = - x² + 6 x
Conclusion: f( x ) = - x² + 6 x
d. Dressons le tableau de variation de la fonction f
définie sur [0 ; 4 ].
On a: f( x ) = a x² + b x + c pour tout x dans [ 0 ; 4 ]
avec : a = - 1 b = 6 c = 0
b' = 3
Ainsi: a < 0
- b / ( 2a ) = - b' / a = - 3 / ( - 1 ) = 3
Δ' = b' ² - a c
Δ' = 9
- Δ / (4a) = - Δ' / a = - 9 / ( - 1)
- Δ / (4a) = 9
x
0 3 4
f( x )
0 ↑ 9 ↓ 8
f atteint son maximum 9 pour x = 2
3. a. Calculons l'aire du trapèze rectangle ABCD.
Son aire est: A( x ) = [( AB + DC ) / 2 ] × AD
c-à-d A( x ) = [ ( 6 + 2 ) / 2 ] × 4 = 16
Conclusion: L'aire du trapèze ABCD est 16.
b. En dédire que l'aire g( x ) du triangle BMC est g( x ) = 12 - 2 x .
On a : aire ( BMC ) = aire( ABCD ) - aire( MDC ) - aire (ABM)
Le triangle MDC est rectangle en D.
Aire ( MDC ) =( MD× DC ) / 2 = ( ( 4 - x ) × 2) / 2 = 4 - x
Le triangle ABM est rectangle en A.
Aire ( ABM ) =( AB× AM ) / 2 =( 6 × x) / 2 = 3 x
Ainsi : Aire ( BMC ) = 16 - ( 4 - x ) - 3 x = 12 - 2 x
Conclusion: g( x ) = 12 - 2 x avec x dans [ 0 ; 4 ]
4. Traçons les courbes des fonctions f et g sur l'intervalle [ 0 ; 4 ]
5. Déterminons les valeurs de x telles que :
a.L'aire du rectangle AMNP soit maximale.
D'après le tableau de variation de f , on a l'aire du rectangle
AMNP qui est maximale quand x = 2 et ce maximum est 9 .
Conclusion: Pour x = 2 l'aire du rectangle AMNP est maximale.
b. Le rectangle AMNP et le triangle BMC soient de même aire.
Par le calcul.
Soit x dans [ 0 ; 4 ].
Imposons : f( x ) = g( x )
c-à-d - x² + 6 x = 12 - 2 x
c-à-d x² - 8 x + 12 = 0
Résolvons dans [ 0 ; 4] cette équation.
On a :
Δ' = b' ² - ac
Δ' = ( - 4 ) ² - 12 = 16 - 12 = 4
Δ' > 0
Les deux racines distinctes sont:
( - b' - √Δ' ) / a = ( 4 - 2 ) / 1 = 2 Accepté
( - b' + √Δ' ) / a = ( 4 + 2 ) / 1 = 6 Refusé
Conclusion: C'est pour x = 2 que l'aire du rectangle AMNP est
est égale à celle du triangle BMC.
c. L'aire du rectangle AMNP soit supérieure à celle du triangle BMC.
Par le calcul.
Soit x dans [ 0 ; 4 ]. Considérons: f( x ) > g( x ) c-à-d - x² + 6 x > 12 - 2 x c-à-d x² - 8 x + 12 < 0 a = 1 Donc a > 0 . Nous voulons que x² - 8 x + 12 soit du signe de - a. Nous devons prendre x entre les racines en les refusant avec la condition x dans [ 0 ; 4 ]. c-à-d 2 < x < 6 et 0 ≤ x ≤ 4 c-à-d x est dans ] 2 ; 4 ] Conclusion: x est dans ] 2 ; 4 ]
6. Expliquons comment retrouver graphiquement ces résultats.
• Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représete la fonction f a son sommet
d'abscisse x = 2.
• Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représete la fonction f coupe la
droite qui représente la fonction g en un point dont l'abscisse est 2.
• Sur [ 0 ; 4] , la parabole qui représente la fonction f est au dessus de la
droite qui représente la fonction g sur ] 2 ; 4 ].
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