DS51S1240109 Devoir surveillé n° 5 1S1 24 / 01 /09
EXERCICE. 1 Soit la fonction f : x → ( x - 1 )² / ( x + 1 ) définie sur
l'intervalle ] -1 , + ∞ [ .
Soit ( C ) la courbe de la fonction f , dans un repère orthonormal du plan,
sur l'intervalle ] -1 , + ∞ [ .
( Unité graphique : 1 cm )
1. Trouver la limite de f en - 1.
2. En déduire l'existence d'une asymptote verticale Δ pour la courbe ( C ).
3. Trouver la limite de f en + ∞ .
4. Déterminer deux réels a , b tels que :
f( x ) = a x + b + 4 / ( x + 1 )
pour tout x dans ] - 1 , + ∞ [ .
5. Etablir que la courbe ( C ) admet comme asymptote oblique
la droite D: y = x - 3 en + ∞.
6. Donner le signe de 4 / ( x + 1 ) quand x est dans l'intervalle ] - 1 , + ∞ [ .
En déduire les positions relatives de D et ( C ) sur ce intervalle.
7. a. Montrer que la fonction dérivée f ' de f est :
f ' : x → ( ( x + 5 ) ( x - 3 ) ) / ( x + 1 )².
b. Trouver le signe de f ' ( x ) pour tout x dans ] - 1 , + ∞ [ .
Donner le tableau de variations de f.
8. Soit Ω le point d'intersection des droites D et Δ .
Trouver les coordonnées de Ω .
9. On pose : x = X - 1
y = Y - 4
( Formules de changement de repère par changement d'origine.
Ω est la nouvelle origine. )
Montrer que l'équation y = f( x ) pour tout x dans ] - 1 , + ∞ [
devient Y = X + 4 / X pour tout X dans ] 0 , + ∞ [ .
10. Quels sont les points A et B de la courbe ( C ) où la tangente est horizontale?
11. Sur l'intervalle ] 0 , + ∞ [ tracer dans le même repère orthogonal la courbe ( C ) ,
les droites D , Δ , et les points A , B .
12. Discuter graphiquement le nombre de solutions de l'équation f( x ) = α
dans l'intervalle ] 0 , + ∞ [ où α est un nombre réel.
( On pourra pour cela dénombrer les points d'intersection éventuels de ( C ) avec
la droite Lα : y = α suivant la valeur de α.)
EXERCICE . 2
1. Soit les points A ( 4 π / 3 ) et B ( 11 π / 4 ) sur le cercle trigonométrique.
Donner les mesures ( en radians ) de l'arc orienté d'origine A et d'extrémité B.
2 . a. Soit k dans l'ensemble des entiers relatifs.
Montrer que les affirmations suivantes sont équivalentes:
• 113 π / 6 + 2 k π est dans l'intervalle ] - π , π] .
• k est dans l'intervalle l'intervalle ] - 119 / 12 , - 107 / 12 ].
b. En déduire la mesure principale ( en radians ) de l'angle orienté dont
une mesure est 113 π / 6 .