INFO EX 5 DS n° 10 23 MAI 2009 1S
EXERCICE 5
Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ) ).
Soit les points A ( 2 ; 5 ) et B( 1 ; 3 ).
Soit I le point milieu du segment [ AB] .
1.a. Calculer la distance AB.
b. Donner les coordonnées du point I .
2. Trouver une équation du cercle de diamètre [AB].
3. Donner une équation de la droite ( AB ) .
4. Donner une équation de la médiatrice du segment [AB].
5. Déterminer l'ensemble ( W ) des points M du plan yels que :
MA² + MB = 1 / 2.
Représenter ( W ).
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Réponse:
1 .a. On a le vecteur vect( AB ) qui a pour coordonnées : 1 - 2 = - 1
3 - 5 = - 2
Donc AB = √( ( - 1 )² + ( - 2 )² ) = √( 1 + 4 )
Conclusion: AB = √5
b. Les coordonnées du point I sont: ( 2 + 1 ) / 2 = 3 / 2
( 5 + 3 ) / 2 = 4
Conclusion: Les coordonnées de I sont ( 3 / 2 ; 4 )
2. Le point M appartient au cercle de diamètre [AB]
ssi vect( MA ) . vect( MB ) = 0.
Soit M( x , y ) .
On a : Le vecteur vect( MA ) a pour coordonnées : 2 - x
5 - y
Le vecteur vect( MB ) a pour coordonnées : 1 - x
3 - y
Donc
vect( MA ) . vect( MB ) = ( 2 - x ) ( 1 - x ) + ( 5 - y ) ( 3 - y )
c-à-d
vect( MA ) . vect( MB ) = 2 + x² - 2 x - x + y² + 15 - 5 y- 3 y
c-à-d
vect( MA ) . vect( MB ) = 2 + x² - 3 x + y² + 15 - 8 y
c-à-d
vect( MA ) . vect( MB ) = x² + y² - 3 x - 8 y + 17
Conclusion: l'équation du cercle de diamètre [AB] est
x² + y² - 3 x - 8 y + 17 = 0
3. La droite ( AB ) n'est pas verticale car A et B n'ont pas la même abscisse.
Elle admet une équation réduite de la forme : y = a x + b
avec a = ( yB - yA ) / ( xB - xA )
Donc a = ( - 2 ) / ( - 1 ) = 2
De plus les coordonnées du point A vérifient l'équation :
On a donc : yA = 2 xA + b
c-à-d b = yA - 2 xA
c-à-d b = 5 - 2 ( 2 ) = 1
Conclusion: l'équation réduite de la droite ( AB ) est : y = 2 x + 1
4. La médiatrice du segment [AB] est la droite passant par I et de
vecteur normal vect( AB ).
Les coordonnées du vecteur vect( AB ) sont : (- 1 ; - 2 )
Donc une équation de la droite ( AB ) est de la forme
- x - 2 y + c = 0
Les coordonnées ( 3 / 2 ; 4 ) du point I vérifient cette équation.
Donc - 3 / 2 - 8 + c = 0
c-à-d - 19 / 2 + c = 0
c-à-d c = 19 / 2
Conclusion : La médiatrice du segment [AB] est
d'équation : - x - 2 y + 19 / 2 = 0
5. D'après le Théorème de la médiane on a :
MA² + MB² = 2 MI² + AB² / 2
L'égalité MA² + MB² = 1 / 2
s'écrit donc : 2 MI² + AB² / 2 = 1 / 2
c-à-d 2 MI² + (√ 5 )² / 2 = 1 / 2
c-à-d 2 MI² + 5 / 2 = 1 / 2
c-à- d 2 MI² = 1 / 2 - 5 / 2
c-à-d 2 MI² = - 2
c-à-d MI² = - 1 IMPOSSIBLE
Conclusion: W est l'ensemble vide .
W = Ø