INFO EX 3 DS n° 10 1S 23 MAI 2009
EXERCICE 3
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Réponse:
1. Calulons u1 , u2 .
On sait que u0 = 2 .
Pour tout n dans IN , on a : un + 1 = ( 1/ 2 ) un + ( 1 / 2 )
• Pour n= 0 on obtient : u0 + 1 = ( 1 / 2 ) u0 + ( 1 / 2 ) = ( 1 / 2 ) 2 + ( 1 / 2 )
c-à-d u1 = 1 + ( 1 / 2 ) = 3 / 2
Conclusion: u1 = 3 / 2
• De même :
Pour n = 1 on obtient : u1 + 1 = ( 1/ 2 ) u1 + ( 1 / 2 )
c-à-d u2 = ( 1/ 2 ) ( 3 / 2 ) + ( 1 / 2 ) = 3 / 4 + 1 / 2 = 5 / 4
Conclusion : u2 = 5 / 4
2. Montrons que la suite ( w ) est géométrique de raison 1/ 2.
Soit n dans IN quelconque.
On a :
wn + 1 = un + 1 - 1
Or un + 1 = ( 1/ 2 ) un + ( 1 / 2 )
D'où wn + 1 = ( 1/ 2 ) un + ( 1 / 2 ) - 1
c-à-d wn + 1 = ( 1/ 2 ) un - ( 1 / 2 )
c-à-d wn + 1 = ( 1/ 2 ) ( un - 1 )
Or un - 1 = wn
Donc wn + 1 = ( 1/ 2 ) wn pour tout n dans IN.
Conclusion: wn + 1 = ( 1/ 2 ) wn pour tout n dans IN.
Donnons w0 .
w0 = u0 - 1
c-à-d w0 = 2 - 1 = 1
Conclusion : w0 = 1
3. Donnons les termes généraux des suites ( u ) et ( v ).
La suite ( w ) est géométrique de raison 1 / 2 différente de 0.
On a : wn = w0 qn avec w0 = 1 et q = 1 / 2
Ainsi :
Conclusion: wn = ( 1 / 2)n pour tout n dans IN.
Comme un - 1 = wn on a un = 1 + wn
Conclusion: un = 1 + ( 1 / 2 )n pour tout n dans IN.
4. Regardons si les suites ( u ) et ( w ) convergent.
Comme 0 < 1 / 2 < 1 on a lim ( 1 / 2 )n = 0
n → + ∞
Conclusion: lim wn = 0
n → + ∞ La suite ( w ) converge vers 0. Ainsi lim ( 1 + wn ) = 1
n → + ∞ Comme un = 1 + wn On en déduit que : lim un = 1
n → + ∞ Conclusion: lim un = 1 n → + ∞ La suite ( u ) converge vers 1. 5. Traçons les droites D: y = x et D' : y = ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 2 ). 6. Plaçons u0 , u1 , u2 , u3 sur l'axe des abscisses.
7. Conjecturons le sens de variation de la suite ( u ). Comme il apparaît que u0 > u1 > u2 > u3 on conjecture que la suite ( u ) est décroissante. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------