LISTE D' EXERCICES SUR LES BARYCENTRES OCT 2008 1S
EX. 1 1. Ecrire le point M comme barycentre des points A et B pour des coefficients à préciser.
A•----•----•----•B----•----•M
2. Ecrire le point M comme barycentre des points A et B pour des coefficients à préciser.
A•----•----•----•M----•----•B
REP. 1. Il apparait que M est sur la droite ( AB ) mais pas entre A et B. De plus MA = 5 et MB = 2. Donc: M est le barycentre des points pondérés ( A , - MB ) et ( B , MA )
2. Il apparait que M est sur le segment [AB]. De plus MA = 3 et MB = 2. Donc: M est le barycentre des points pondérés ( A , MB ) et ( B , MA )
M est le barycentre des points pondérés ( A , - 2 ) et ( B , 5 )
M est le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et ( B , 3 )
EX . 2 Le plan est muni d'un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect( j ).
Soit les points A ( - 2 ; 1 ) , B( 3 ; 1) , C( 0 ; 4 ).
Soit H le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) .
1. Donner les coordonnées du point H.
2. Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 ).
a. Trouver les coordonnées du point G. b. On rappelle que la distance du point A au point B est : AB =√( ( xB - xA )² + ( yB - yA )² ). Calculer AB. c. Réduire le vecteur vect( MA ) + 3 vect( MB ) +2 vect( MC) puis donner sa norme. 3. Déterminer l'ensemble ( U ) des points M du plan tels que les vecteurs suivants soient de même norme: 6 vect( AB) vect( MA ) + 3 vect( MB ) + 2 vect( MC ).
REP. 1. Le barycentre H des points pondérés ( A , 1 ) et ( C , 2 ) existe car 1 + 2 ≠ 0
On a H( - 2 / 3 ; 3 ). En effet:
xG = ( 1×( - 2 ) + 2 ×( 0 ) ) / ( 1 + 2 ) = - 2 / 3
yG = ( 1×( 1 ) + 2 ×( 4 ) ) / ( 1 + 2 ) = 9 / 3 = 3
On a : H( - 2 / 3 ; 3 ).
2. a. Le point G barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 3 ) , ( C , 2 )
existe car 1 + 3 + 2 ≠ 0.
xG = ( 1×( - 2 ) +3 ( 3 ) + 2 ×( 0 ) ) / ( 1 + 3 + 2 ) = 7 / 6
yG = ( 1×( 1 ) +3 ( 1 ) + 2 ×( 4 ) ) / ( 1 + 3+ 2 ) = 12 / 6 = 2
On a : G( 7 / 6 ; 2 ).
b. Le vect( AB ) est de coordonnées ( 3 + 2 ; 1 - 1 ) c-à-d ( 5 ; 0 ).
| On a : AB = 5 |
c. D'après la propriété fondamentale
vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG )
Donc:
| vect( MA ) + 3 vect( MB) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 3 + 2 ) vect( MG )
Sa norme est donc 6 MG. |
3. L'ensemble U est l'ensemble des points M tels que : 6 MG = 6 AB
c-à-d tels que : 6 MG = 6 × 5
c-à-d tels que : MG = 5
Donc
| U est le cercle de centre G et de rayon 5. |
EX 3.
Soit le point B' tel que: vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC )
Soit le point A' tel que : vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC ).
1. Ecrire A' comme barycentre des points pondérés B et C pour des coefficients à préciser.
2. Ecrire B' comme barycentre des points pondérés A et C pour des coefficients à préciser.
3 . Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ( B , 3 ) et ( C , 6 ).
Montrer que le point G est le point d'intersection des droites ( A A' ) et ( B B' ).
PROP. 1. On a: vect( BA' ) = ( 2 / 3 ) vect(BC )
c-à-d 3 vect( BA' ) = 2 vect(BC )
c-à-d 3 vect( BA' ) = 2 vect(BA' ) + 2 vect (A'C )
c-à-d vect( BA' ) = 2 vect (A'C )
c-à-d - vect( BA' ) + 2 vect (A'C ) est le vecteur nul.
c-à-d vect( A'B ) + 2 vect (A'C ) est le vecteur nul.
Comme 1 + 2 est non nul on a :
A' est le barycentrre des points pondérés ( B , 1 ) et ( C , 2 )
2. On a: vect( AB' ) = ( 3 / 4 ) vect ( AC ) es traduit par :
c-à-d 4 vect( AB' ) = 3 vect( AC ) est le vecteur nul.
c-à-d - 4 vect( AB' ) + 3 vect( AB' ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.
c-à-d - vect( AB' ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.
c-à-d vect( B'A ) + 3 vect( B'C ) est le vecteur nul.
Comme 1+ 3 est non nul on a:
3. Montrons que le point G , barycentre des points pondérés ( A , 2 ) ,( B , 3 )
B' est le barycentre des points pondérés ( A ,1 ) , ( C , 3 ).
et ( C , 6 ) , qui existe car 2 + 3 + 6 ≠ 0 , est sur les droite (AA' ) et ( BB' ).
On peut dire que :
• A' peut être considéré comme le barycentre des points pondérés
( B , 3 ) , ( C , 6 ).
Ainsi G est le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) , ( A' , 9 ).
G , A , A' sont donc alignés.
• B' peut être considéré comme le barycentre des points pondérés
( A , 2 ) et ( C , 6 ).
Ainsi G est le barycentre des points pondérés ( B , 3 ) , ( B' , 8 ).
G , B , B' sont donc alignés.
conclusion : Les droite ( AA' ) et (BB' ) sont sécantes en G.
EX. 4 Soit ABC un triangle dans le plan .
Soit I le barycentre des points pondérés ( A , 2 ) et ( B , 1 ).
Soit J le barycentre des points pondérés ( B , 2 ) et ( C , 1 ).
Soit K le barycentre des points pondérés ( C , 2 ) et ( A , 1 ) .
Démontrer que les triangles ABC et IJK ont le même "centre de gravité".
( c-à-d isobarycentre.)
REP Soit G le barycentre des six points pondérés:
( A , 2 ) , ( B , 1 )
( B , 2 ) , ( C , 1)
( C , 2 ) , ( A , 1) .
Alors on peut présenter G de deux façon .
• G est donc le barycentre des points pondérés:
( A , 3 ) , ( B , 3 ) , ( C , 3 ).
G est donc l'isobarycentre des points A, B , C.
C-à-d G est le centre de gravité du triangle ABC.
• G est le barycentre des points pondérés
( I , 3 )
( J , 3 )
( K , 3).
Donc G est l'isobarycentre des point pondérés I , J , K.
Conclusion: Les triangles ABC et IJK ont le même centre de gravité.
EX. 5
Soit le triangle ABC.
Trouver l'ensemble des points M du plan tels que :
vect( MA ) + vect( MB) + vect( MC ) et vect(MB) + 2 vect( MC)
soient de même norme.
( On réduira chacun des vecteurs. )
REP • Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( B , 1 ) , ( C , 1 )
c-à-d G centre de gravité du triangle ABC.
D'après la propriété fondamentale:
vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = ( 1 + 1 + 1 ) vect( MG)
c-à-d vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) = 3 vect( MG)
• Soit H le barycentre des points pondérés ( B ,1) , ( C , 2 ).
H existe car 1 + 2 ≠ 0.
D'après la propriété fondamentale:
Conclusion: L'ensemble cherché est la médiatrice du segment [ GH ].
Soit E le point symétrique de A par rapport à B.
Soit I le milieu du segment [ CD ].
Soit G le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( E , 1 ) , ( D , 2 ) , ( C , 2 ).
Que peut-on dire des points G ,I ,B ?
REP • B est le milieu du segment [ EA] car E est la symétrique de A par rapport à B.
Donc B est le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( E , 1 ).
• I est le milieu du segment [ DC].
Donc I est le barycentre des points pondérés ( D, 1 ) , ( C , 1 ).
Ainsi le point G qui est le barycentre des points pondérés ( A , 1 ) , ( E , 1 ) ,
( D , 2 ) , ( C , 2 ) est le barycentre dews points pondérés
( B 2 ) et ( I , 2 ).
D'où G est le milieu du segment [ IB ].
Conclusion: G, I , B sont alignés.
EX. 7 Soit ABC un triangle équilatéral de coté de longueur a , dans le plan.
Faire une figure avec a = 3 cm.
Soit K le point du plan tel que 4 vect( AK ) - vect( AB ) - 3 vect( BC )
soit le vecteur nul.
1. Exprimer K comme barycentre des points pondérés A ,B ,C pour des
coefficients à préciser.
2. Montrer alors que K est sur la médiatrice du segment [ AC ] .
3 . Trouver la distance BK.
EX. 8
Soit ABCD un tétraèdre ( Ainsi les points A , B ,C, D sont des points non coplanaires. )
Faire une figure en perspective cavalière.
Soit G l'isobarycentre des points A , B , C , D . Soit L le milieu du segment [DC].
Soit J le milieu du segment [ BC ].
1. La droite ( AG ) coupe le plan ( BCD) en un point I.
Que peut-on dire de ce point I ?
2 . Placer le point G.
3. Soit M un point du segment [ AB ].
a. M est-il dans le plan ( ABG ) ?
b. Quelle est l'intersection des plans ( ABG ) et ( BCD ) ?
c. Soit F le point du segment [ AB ] tel que:
vect( AF ) = (3 / 4 ) vect ( AB).
Dans le cas où M ≠ F que peut-on dire de l'intersection de la
droite( MG ) avec le plan (BCD ) ?
vect( MB ) + 2 vect( MC ) = ( 1 + 2 ) vect( HM )
c-à-d vect( MB ) + 2 vect( MC ) = 3 vect( HM )
Ainsi II vect( MA ) + vect( MB ) + vect( MC ) II = II vect( MB ) + 2 vect( MC ) II
se traduit par II 3 vect( MG ) II = II 3 vect( MH ) II
c-à-d 3 MG = 3 MH
c-à-d MG = MH.