CONGRUENCE BTS TS SPE MATHS
1. CONGRUENCE .
Soit a et a ' deux entiers relatifs.
Soit m un entier naturel non nul.
a et a' sont congrus modulo m quand on a l'une
des affirmations équivalentes suivantes qui est vraie.
• a et a' ont le même reste dans la division par m . ( 1 )
• a- a' est un multiplede m . ( 2 )
• Il existe un entier relatif k tel que a - a' = k m .
JUSTIFICATION
Montreons que : ( 1 ) <=> ( 2 )
• ( 1 ) => ( 2 )
On sait que : a et a' ont le même reste dans la division par m .
Donc : Il existe deux entiers relatifs uniques q et r tels que
a = m × q + r avec 0 ≤ r <m
De plus
Il existe deux entiers relatifs uniques q' et r' tels que
a' = m × q' + r' avec 0 ≤ r' < m
Enfin r = r '
D'où : a - a ' = m × q + r - ( m × q' + r' ) = m × ( q - q ' ) + r - r '
c-à-d a - a ' = m × ( q - q ' )
Soit k = q - q'
C'est un entier relatif
On a a - a ' = m k
a - a ' est bien un multiple de m
• ( 2 ) => ( 1 )
On sait que : a - a ' est bien un multiple de m .
Il existe un entier k tel que a - a' = k × m
On a :
Il existe deux entiers relatifs uniques q' et r' tels que
a' = m × q' + r' avec 0 ≤ r' < m
Il existe deux entiers relatifs uniques q et r tels que
a = m × q + r avec 0 ≤ r < m
Donc a = a ' + m k = m × q' + r' + m k
c-à-d a = m ( q' - k ) + r' avec 0 ≤ r' < m
D'après l'unicité du quotient et du reste
il vient : q' - k = q et surtout r = r'
a et a ' ont bien le même reste .
Conclusion : L'équivalence est avérée.
2. NOTATION
a et a' sont congrus modulo m s'écrit :
a ≡ a ' ( m ) ou a ≡ a ' ([m ]
3. PROPRIETE DES CONGRUENCES.
Soit a et a ' deux entiers relatifs.
Soit b et b ' deux entiers relatifs.
Soit m dans IN*.
Soit p dans IN*.
Soit a ≡ a ' ( m ) et b ≡ b ' ( m )
Alors :
a - b ≡ a ' - b' ( m )
a + b ≡ a ' + b' ( m )
a × b ≡ a ' × b' ( m )
ap ≡ a' p ( m )
4. EXEMPLE
Trouver le reste de la division de 247349 par 7.
Même question avec 153221
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