BARYCENTRE I .

  LECON     n° 2      BARYCENTRE                   1S                      OCT  08


            1. INTRODUCTION.

             Soit deux points  A et B dans le plan P ( respectivement dans l'espace E ) .

             On attribue au point A le réel a et au points B le réel b .

             A chaque point M du plan P  ( respectivement dans l'espace E ) on peut associer

             le vecteur a vect( MA ) + b vect( MB) .

             La question que l'on peut se poser est:

             "PEUT-ON TROUVER UN  POINT  M particuliier unique tel que:

                    a vect( MA ) + b vect( MB)  soit le vecteur nul ? "

              REPONSE: PAS TOUJOURS.

              En effet;

            ••  On démontre que ce n'est possible que si a + b ≠ 0 .

            • •  On démontre que, par contre, si a + b = 0 alors  ce n'est pas possible.

                  Dans ce cas le vecteur  a vect( MA ) + b vect( MB) est " constant"

                         c'est-à-dire est indépendant du choix de M.

              POURQUOI  cela ?   (   La relation de Chasles le montre. ) 

             • • Soit  a + b ≠ 0 .

               a vect( MA ) + b vect( MB) égale le vecteur nul  

              se traduit par  vect( AM ) =  ( b / ( a + b ) ) vect ( AB )

                aussi bien que           vect( BM ) =  ( a / ( a + b ) ) vect ( BA )

                (  Il est clair que le point M est alors caractérisé de façon unique.)

                 On peut le noter G et l'appeler  BARYCENTRE  des points pondérés

                 ( A , a )   et ( B , b )

              • • Soit  a + b = 0.

                (  Avec la relation de Chasles ) on obtient:

                   a vect( MA ) + b vect( MB) = a vect( BA ) =  b vect(AB)

                    C' est un VECTEUR INDEPENDANT  DU POINT  M.


            2.  EX.   Placer dans un repère orthonormal du plan les points

                          A( 1 ; 2 )  et B(  - 3 ; 1 ).

                     a. Soit a = 1  et b = 2 .  

                         Placer le point G  barycentre des points pondérés (A , a )

                        ( B, b ).

                     b. Soit a = 1 et b = 1.

                         Refaire le travail. Que constatez-vous?

                         Que se passe-t-il quand a = b   avec a non nul ?

                     c. Que pouvez vous dire de l'alignement des points A ,B, G ?

                     d. Soit a = 1 et b = 2.   Soit  w un réel non nul.

                         Comparer le barycentre des points pondérés (A , a ) et ( B , b )

                         avec celui des points pondérés ( A , wa )  et ( B , wb ).


             3. EX.    Soit les points pondérés ( A , a ) et ( B , b ) du plan (ou de l'espace.)

                        Soit   a = 3   et   b = - 3 .

                        Soit M un point quelconque du plan ( ou de l'espace.)

                        Exprimer    a vect( MA) + b vect( MB)     sans utiliser M.


             4. Définition.

                      Soit deux points pondérés ( A , a ) et B , b )  du plan

                          ( respectivement de l'espace)

                       avec a + b ≠ 0.

                      L'unique point G du plan ( respectivement de l'espace ) tel que

                      a vect(GA) + b vect(GB)  égale  le vecteur nul

                      est appelé le BARYCENTRE DES POINTS PONDERES

                     ( A , a ) et B , b ) .


           5. EX.

               Soit A et B deux points du plan ( ou de l'espace) .

               ( A et B  seront toujours distincts.)

               1. Cas.           --------------•-----------------•-------------------------------•---------

                                                         A                     M                                    B

               Soit M un point du segment [AB].

               Etablir que les vecteurs  MB×vect(MA)  et  MA ×vect(MB)  sont opposés.

               Montrer que M peut s'écrire comme le barycentre des points pondérés

               ( A , MB )  et ( B , MA ).

               2. Cas.               -------------------•--------------•---------------------•--------

                                                                   M               A                           B

                Soit un point M de la droite ( AB) qui n'est pas dans le segment [AB].

                Montrer que les vecteurs MB ×vect(MA)   et MA× vect(MB sont opposés.

                 Montrer que M peut s'écrire comme le barycentre des points pondérés

                      ( A , MB )  et ( B , - MA ).

             3. Application.   Soit le segment [AB]  de 4 cm de long.

                                            Soit le point M du segment [AB] situé à

                                             2 cm du point A.

                                            Ecrire M comme barycentre des point A et B pour

                                            des coefficients que l'on précisera.