INFO EX1 OLYMPIADES DE MATHS SUJET 2009
Exercice 1
Partie A : Questions préliminaires .
On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.
C'est à-dire a , b , c tels que a ≠ b , a ≠ c , b ≠ c ,
dans l'ensemble IN ∩ [1 ; 9] noté
.
1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme?
C'est en prenant pour a , b , c les trois plus petits éléments de
que a + b + c est le plus petit possible.
Conclusion: La plus petite somme est 1 + 2 + 3 = 6
2. Quelle est la plus grande valeur possible pour leur somme?
C'est en prenant pour a , b , c les trois plus grands éléments de
que a + b + c est le plus grand possible.
Conclusion: La plus grande somme est 7 + 8 + 9 = 24
Partie B: Les triangles magiques:
1. Complétons le triangle suivant de façon qu'il soit 20-magique.
La somme des entiers suivant chaque côté est S = 20
A gauche la somme des deux entiers à trouver vaut : 20 - 2 - 5 = 13
A droite la somme des deux entiers à trouver vaut : 20 - 2 - 8 = 10
En bas la somme des deux entiers à trouver vaut : 20 - 5 - 8 = 7
On ne dispose plus que des entiers suivants : 1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9
Faisons un tableau à double entrée pour voir comment on peut obtenir
une somme de 7 , de 10 de 13 en sommant deux entiers parmi 1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 .
Nous ferons ensuite notre choix. On ne tiendra pas compte de l'ordre.
On ne peut pas avoir deux fois le même entier.
+
1
3
4
6
7
9
1
4
5
7
8
10
3
8
9
10
12
4
10
11
13
6
13
15
7
16
9
Pour 7 on a 1 et 6 obligatoirement en bas du triangle dans n'importe quel ordre.
Pour 13 on a 6 et 7 refusés , donc il ne reste que 4 et 9.
Pour 10 alors 4 et 6 comme 1 et 9 sont refusés. Il reste que 3 et 7.
Finalement on peut proposer:
Il est possible de permuter 4 et 9 ; 3 et 7 ; 1 et 6.
2.On considère un triangle S-magique et on appelle T la somme des nombres placés sur les trois sommets.
a . Prouver qu'on a : 45 + T = 3 S
On a : T = n1 + n4 + n7
On a : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
Donc n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 + n9 = 45
Mais:
3 S = ( n1 + n2 + n3 + n4 ) + ( n4 + n5 + n6 + n7 ) + ( n7 + n8 + n9 + n1 )
c-à-d
3 S = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 + n9 + n4 + n7 + n1
Donc
3 S = 45 + n4 + n7 + n1
c-à-d 3 S = 45 + T
Conclusion : On a bien 45 + T = 3 S
b. Déduisons qu'on a : 17 ≤ S ≤ 23
On a vu que la somme de trois entiers compris entre 1 et 9 ,
deux à deux distincts valait au minimum 6 et au maximum 24.
Dès lors : 6 ≤ T ≤ 24
Mais T = 3 S - 45
d'où 6 ≤ 3 S - 45 ≤ 24
c-à-d 45 + 6 ≤ 3 S ≤ 24+45
c-à-d 51 ≤ 3 S ≤ 69
c-à-d 17 ≤ S ≤ 23
Conclusion: on a bien 17 ≤ S ≤ 23
c. Donnons la liste des couples envisageables.
S | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
T = 3 S - 45 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
3. Proposons un triangle 17-magique.
S = 17 Donc T = 6
On a vu que 6 = 1 + 2 + 3 ( la plus petite somme pour trois entiers distincts entre 1 et 9)
Prenons donc 1 ; 2 ; 3 aux sommets du triangle.
La méthode utilisée pour la question 1 reste valable comme tout à l'heure on a les sommets. On calcule pour chaque côté le montant qui reste pour la somme des deux entiers.
Avec les entiers encore disponibles 4,5,6,7,8,9 on fait un tableau à double entrée. Voici une proposition:
4. Prouvons qu'il n'existe pas de triangle 18-magique.
Considérons S = 18
Alors T = 9 .
Faisons l'inventaire des façons d'avoir 9 en ajoutant trois entiers distincts compris entre
1 et 9.
Déjà il est impossibles que parmi les trois entiers on ait 9 ou 8 ou 7.
En effet la somme des deux autres ne peut pas être 0 ni 1 ni 2 ( car ils sont distincts) .
On dispose donc seulement que de : 1 , 2 , 3, 4 5 , 6.
Notons pour simplifier l'écriture a , b, c les trois entiers recherchés.
On a donc pour les sommets trois cas à étudier.
• 9 = 1 + 2 + 6 On dispose de 3 , 4, 5 , 7 ,8 ,9.
En utilisant un tableau à double entrée pour les sommes deux par deux
on ne trouve pas de répartition convenable:
10 = 3 + 7 étant incompatible avec 15 = 8 + 7
• 9 = 1 + 3 + 5 On dispose de 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9
Même méthode. Même conclusion négative.
14 = 6 + 8 étant incompatible avec 12 = 4 + 8
• 9 = 2 + 3 + 4 On dispose de 1 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9.
Même méthode. Même conclusion négative.
12 = 5+ 7 étant incompatible avec 11 = 5 + 6