OLYM . de MATHS EX1 2009

   INFO EX1  OLYMPIADES DE MATHS SUJET 2009

 Exercice 1 

    Partie A : Questions préliminaires .

    On considère trois entiers deux à deux distincts et compris entre 1 et 9.

    C'est à-dire a , b , c  tels que a ≠ b  ,  a  ≠  c   , b   ≠  c ,

    dans l'ensemble IN ∩ [1 ; 9] noté

     .

  1. Quelle est la plus petite valeur possible pour leur somme?

    C'est en prenant pour a , b , c les trois plus petits éléments de   

      que  a + b + c   est  le plus petit possible.

    Conclusion:  La plus petite somme est   1 + 2 + 3 = 6 

    2. Quelle est la  plus grande valeur possible pour leur somme?

       C'est en prenant pour a , b , c les trois plus grands  éléments de   

        que  a + b + c   est  le plus grand  possible.

      Conclusion:  La plus grande  somme est    7 + 8 + 9 = 24 

       Partie B:  Les triangles magiques:

        1. Complétons le triangle suivant de façon qu'il soit 20-magique.

            La somme des entiers suivant chaque côté est S = 20

  

        A gauche la somme des deux entiers à trouver vaut : 20 - 2 - 5 = 13

         A droite  la somme des deux entiers à trouver vaut : 20 - 2 - 8 = 10

         En bas   la somme des deux entiers à trouver vaut : 20 -  5  - 8 = 7

        On ne dispose plus que des entiers suivants :   1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9     

        Faisons un tableau à double entrée pour voir comment on peut obtenir

        une somme de 7 , de 10 de 13 en sommant deux entiers parmi  1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 9 .

        Nous ferons ensuite notre choix.   On ne tiendra pas compte de l'ordre.

     On ne peut pas avoir deux fois le même entier.                

+ 1 3 4 6 7 9
1   4 5 7 8 10
3       8 9 10 12
4         10 11 13
6             13 15
7                16
9                  

    Pour    on a 1 et 6 obligatoirement  en bas du triangle dans n'importe quel ordre.

    Pour     13    on a    6 et 7  refusés , donc il ne reste que 4 et 9.

   Pour     10     alors 4 et 6 comme 1 et  9 sont refusés. Il reste que 3 et 7.

         Finalement on peut proposer:

                                                         

          Il est possible de permuter 4 et 9 ;  3 et 7  ; 1 et 6.

    2.On considère un triangle S-magique et on appelle T la somme des nombres placés sur les trois sommets.

                    a . Prouver qu'on a :    45 + T = 3 S

                        On a  :    T =    n1  + n4 +  n7

                         On a :     1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

                           Donc       n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7 + n8 + n9    = 45  

                            Mais:

    3 S = ( n1 + n2 + n3 + n4 ) + (   n4 + n5 + n6 + n7  ) +  (   n7 + n8 + n9  + n1  )

c-à-d

 3 S =   n1 + n2 + n3 +  n4 + n5 + n6 + n7  + n8 + n9  +  n4 + n7   + n1 

Donc

    3 S = 45 +   n4 + n7   + n1 

   c-à-d     3 S = 45 +    T

           Conclusion : On a bien   45 + T = 3 S

        b. Déduisons qu'on a :   17 ≤  S  ≤  23

             On a vu que la somme de trois entiers compris entre 1 et 9 ,

            deux à deux distincts valait au minimum 6 et au maximum 24.

          Dès lors :       6 ≤  T  ≤  24

                 Mais    T = 3 S - 45

               d'où        6 ≤  3 S - 45  ≤  24

              c-à-d         45 + 6  ≤  3 S ≤  24+45

              c-à-d          51 ≤  3 S ≤    69

                c-à-d          17 ≤   S ≤    23

              Conclusion: on a bien    17 ≤  S  ≤  23

             c. Donnons la liste des couples envisageables.

             

 S  17 18 19 20 21 22 23
T = 3 S - 45 6 9 12 15 18 21 24

              3. Proposons un triangle 17-magique.

                     S = 17    Donc T = 6

                 On a vu que  6 = 1 + 2 + 3    ( la plus petite somme pour trois entiers distincts entre 1 et 9) 

                  Prenons donc 1 ; 2 ; 3 aux sommets du triangle.

                   La méthode utilisée pour la question 1 reste valable comme tout à l'heure

                  on a les sommets.

                   On calcule pour chaque côté le montant qui reste pour la somme des deux entiers.

                   Avec les entiers encore disponibles 4,5,6,7,8,9 on fait un tableau à double entrée.

                  Voici une proposition:

 

                                       

            4. Prouvons qu'il n'existe pas de triangle 18-magique.

                Considérons S = 18

                  Alors T = 9  .

                 Faisons l'inventaire des façons d'avoir 9 en ajoutant trois entiers distincts compris entre

                       1 et 9.

            Déjà il est impossibles que parmi les trois entiers on ait 9 ou 8 ou 7.

            En effet la somme des deux autres ne peut pas être 0 ni 1 ni 2 ( car ils sont distincts) .

            On dispose donc seulement que de : 1 , 2 , 3, 4  5 , 6. 

            Notons pour simplifier l'écriture a , b, c les trois entiers recherchés.

             

             On a donc pour les sommets trois cas à étudier.

             • 9 = 1 + 2 + 6                On dispose de 3 , 4, 5 , 7 ,8 ,9.

                En utilisant un tableau à double entrée pour les sommes deux par deux

                on ne trouve pas de répartition convenable:

               10 = 3 + 7  étant incompatible avec 15 = 8 + 7

             •  9 = 1 + 3 + 5                On dispose de   2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9

                              Même méthode. Même conclusion négative.

                 14 = 6 + 8   étant incompatible avec  12 = 4 + 8

               

              • 9 = 2 + 3 + 4                   On dispose de  1 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9.

                            Même méthode. Même conclusion négative.

             12 = 5+ 7 étant incompatible avec   11 = 5 + 6