TEST Arithmétique BTS1A 12 mars 2014
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EXERCICE 1
1. Soit n un entier naturel quelconque.
Reproduire et compléter le tableau :
| Les restes dans la division de n par 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Les restes dans la division de n2 par 7 | |||||||
| Les restes dans la division de 4 n par 7 | |||||||
| Les restes dans la division de n2 + 4 n par 7 |
|
2. L'entier naturel n2 + 4 n est-il toujours divisible par 7 ?
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EXERCICE 2
1. Quel est le reste de la division euclidienne de 10 par 3 ?
Quelle congruence peut-on en déduire ?
2.Soit n un entier naturel quelconque .
Justifier que 10n ≡ 1 [ 3 ]
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EXERCICE 3
1. Justifier chacune des congruences suivantes:
100 ≡ 1 [ 11 ]
10 ≡ - 1 [ 11 ]
1 ≡ 1 [ 11 ]
1000 ≡ -1 [ 11 ]
2. Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
Quelle congruence modulo 11 peut-on écrire pour N ?
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EXERCICE 4
1 . Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 2 [ 7 ]
2. Etablir que pour tout entier naturel n on a:
32n ≡ 2n [ 7 ]
3. Soit A = 32 n+ 1 + 2n + 2 où n est un entier naturel quelconque.
En déduire que A ≡ 0 [ 7 ]
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EXERCICE 5
1. Donner tous les multiples de 56 compris entre 800 et 1200.
2. A-t-on 733 ≡ 5 [ 56 ] ?
3. Quand on écrit 264 ≡ 40 [ 56] avec 0≤ 40 < 56
quel est le reste de la division de 264 par 56 ?
4. Quelle congruence peut traduire l'égalité : 850 = 56 × 15 + 10 ?
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EXERCICE 6
1. Trouver un entier naturel n non nul tel que
5n ≡ 1 [7]
2. Soit k un entier naturel.
Reproduire et compléter les congruences:
56×k ≡ ... [7]
56×k + 1 ≡ ... [7]
56×k + 2 ≡ .... [7]
56×k + 3 ≡ ... [7]
56×k + 4 ≡ .... [7]
56×k + 5 ≡ ... [7]
Reproduire et compléter le tableau:
| Le reste dans la division de n par 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Le reste dans la division de 5n par 7 |
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