Les restes dans la division de n par 5
Les restes dans la division de n² par 5
Les restes dans la division de 4 n par 5
Les restes dans la division de n² + 4 n par 5

2. L'entier naturel n² + 4 n est-il toujours divisible par 5 ?

3. Soit n = 37. Le nombre n² + 4 n est-il divisible par 5?

EXERCICE 2

1. Quel est le reste de la division euclidienne de 10 par 9 ?

Quelle congruence peut-on en déduire ?

2.Soit n un entier naturel quelconque .

A-t-on 10ⁿ ≡ 1 [ 9 ] ? Justifier.

EXERCICE 3

1. Justifier chacune des congruences suivantes:

100 ≡ 1 [ 3 ]

10 ≡ 1 [ 3 ]

1 ≡ 1 [ 3 ]

2. Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal

c'est-à-dire

N = a × 10² + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.

a. Quelle congruence modulo 3 peut-on écrire pour N ?

b. Quel critère de divisibilité par 3 peut-on en déduire pour un entier N ici inférieur à 1000?

c. Soit N = 236. N est-il divisible par 3 ?

EXERCICE 4

1 . Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3^k ≡ 2 [ 5 ]

2. Etablir que pour tout entier naturel n on a:

3³ⁿ ≡ 2ⁿ [ 5 ]

3. Soit A = 3^{3 n+ 1} + 2^{n + 1} où n est un entier naturel quelconque.

En déduire que A ≡ 0 [ 5 ]

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EXERCICE 5

1. Donner tous les multiples 35 compris entre 70 et 210.

140 est-il l'un d'entre eux?

2. a. Le reste d'une division euclidienne peut-il être négatif strictement?

b. On sait que: 1000 ≡ - 1 [ 11 ]

Donner le reste de la division de 1000 par 11? Justifier.

3. Quand on écrit B ≡ 13 [ 56] avec 0 ≤ 13 < 56

quel est le reste de la division de B par 56 ?

4. Quelles congruences peuvent traduire l'égalité : 850 = 56 × 15 + 10 ?

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EXERCICE 6

1. Trouver un entier naturel n non nul tel que

7ⁿ≡ 1 [5]

2. Soit k un entier naturel.

Reproduire et compléter la congruences:

7^4×k≡ .... [5] 7^{4×k + 2}≡ .... [5]

7^{4×k + 1}≡ .... [5] 7⁴^{×k + 3}≡ .... [5]

Reproduire et compléter le tableau:

Les restes dans la division de n par 4	0	1	2	3
Les restes dans la division de 7ⁿ par 5

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