INFO TEST D'ARITHMETIQUE BTS1 B Lundi 31 mars 2014
EXERCICE 1
1. Compléter le tableau suivant où n désigne un entier naturel quelconque:
Réponse:
|
0 | 1 | 2 | 3 | |
| Restes de la division de 3n par 4 | 0 | 3 | 2 | 1 |
2. En déduire la forme des entiers naturels n tels que
3 n ≡ 1 [ 4 ]
Réponse:
D'après le tableau c'est quand le reste de la division de n par 4 est 3.
La forme de n est donc 4 k + 3 où k est dans IN
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EXERCICE 2
Soit a un entier naturel non nul.
On pose : m = 20 a + 357
n = 15 a + 187
1. Trouver tous les diviseurs de 323 dans IN sachant que 323 = 17 × 19.
Réponse:
Les diviseurs de 323 sont de la forme :
17 k × 19 k' avec k et k ' dans { 0 ; 1 }
Il y a donc :
17 0 × 19 0 = 1
17 0 × 19 1 = 19
17 1 × 19 0 = 17
17 1 × 19 1 = 323
Conclusion: 1 ; 17 ; 19 ; 323 sont les diviseurs de 323 dans IN*
2. Calculer 3 m - 4 n.
Réponse:
On a :
3 m - 4 n = 3 × ( 20 a + 357 ) - 4 × ( 15 a + 187 )
Conclusion: 3 m - 4 n = 323
3. Soit D un entier naturel non nul qui divise m et n.
Quels sont les possibilités pour D?
Réponse:
Comme D divise m et n il doit diviser 3 m - 4 n.
Donc D est un diviseur de 323.
D'après les deux questions précédentes:
Conclusion: D ne peut être que 1 ou 17 ou 19 ou 323
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EXERCICE 3
Dans le système décimal N = abc où a , b , c sont dans
l'ensemble { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 , 8 , 9 } et a ≠ 0.
On dispose des congruences :
102 ≡ 0 [ 4 ]
10 ≡ 10 [ 4 ]
1 ≡ 1 [ 4 ]
Montrer que N est divisible par 4 quand le nombre bc
formé par les deux chiffres de droite de N est divisible par 4.
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REPONSE:
On a:
102 a ≡ 0 [ 4 ]
10 b ≡ 10 b [ 4 ]
1 c ≡ c [ 4 ]
Par sommation:
102 a + 10 b + c ≡ 10 b + c [ 4 ]
c-à-d
N ≡ 10 b + c [ 4 ]
Ainsi N est divisible par 4 quand 10 b + c l'est.
Conclusion:
N est divisible par 4 quand le nombre bc
formé par les deux chiffres de droite de N est divisible par 4.
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EXERCICE 4
1 . Compléter les congruences:
128 ≡ ..... [ 7 ]
100 ≡ ..... [ 7 ]
1007 ≡ ..... [ 7 ]
2. En déduire que 1007 - 100 est divisible par 7.
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REPONSE:
1 . Compléter les congruences:
128 ≡ 2 [ 7 ] car 128 = 18 × 7 + 2
100 ≡ 2 [ 7 ] car 100 = 14 × 7 + 2
1007 ≡ 27 [ 7 ] car 100 ≡ 2 [ 7 ]
c-à-d 1007 ≡ 2 [ 7 ] car 27 = 128
2. En déduire que 1007 - 100 est divisible par 7.
On a :
1007 ≡ 2 [ 7 ]
100 ≡ 2 [ 7 ]
Par différence:
1007 - 100 ≡ 2 - 2 [ 7 ]
c-à-d
1007 - 100 ≡ 0 [ 7 ]
Conclusion: 1007 - 100 est divisible par 7
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EXERCICE 5
1. Trouver le plus petit entier naturel non nul p tel que 3p ≡ 1 [ 11 ].
Réponse:
On a : 33 ≡ 5 [ 11 ] 27 = 11 × 2 + 5
34 ≡ 3 × 5 [ 11 ] c-à-d 34 ≡ 4 [ 11 ]
35 ≡ 3 × 4 [ 11 ]
c-à-d