INFO TEST Arithmétique BTS1A 12 mars 2014
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EXERCICE 1
1. Soit n un entier naturel quelconque.
Reproduire et compléter le tableau :
| Les restes dans la division de n par 7 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Les restes dans la division de n2 par 7 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 |
| Les restes dans la division de 4 n par 7 | 0 | 4 | 1 | 5 | 2 | 6 | 3 |
| Les restes dans la division de n2 + 4 n par 7 | 0 | 5 | 5 | 0 | 4 | 3 |
4
|
2. L'entier naturel n2 + 4 n est-il toujours divisible par 7 ?
NON car la dernière ligne n'est pas constituée que de 0
EXERCICE 2
1. Quel est le reste de la division euclidienne de 10 par 3 ?
10 = 3 × 3 + 1 avec 0 ≤ 1 < 3
Conclusion : Le reste est 1
Quelle congruence peut-on en déduire ?
Conclusion: 10 ≡ 1 [ 3 ]
2.Soit n un entier naturel quelconque .
Justifier que 10n ≡ 1 [ 3 ]
Comme 10 ≡ 1 [ 3 ] on a 10n ≡ 1n [ 3 ]
c-à-d
Conclusion: 10n ≡ 1 [ 3 ]
EXERCICE 3
1. Justifier chacune des congruences suivantes:
100 ≡ 1 [ 11 ] car 100 = 9 × 11 + 1
10 ≡ - 1 [ 11 ] car 10 = 11 - 1 = 11× 1 - 1
1 ≡ 1 [ 11 ] car 1 = 1 + 0 × 11
1000 ≡ -1 [ 11 ] 100 ≡ 1 [ 11 ] implique 1000 ≡ 10 [ 11 ] or 10 ≡ - 1 [ 11 ]
2. Soit N un entier qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
Quelle congruence modulo 11 peut-on écrire pour N ?
On peut déduire des trois congruences
100 ≡ 1 [ 11 ] 10 ≡ - 1 [ 11 ] 1 ≡ 1 [ 11 ]
que 100 a ≡ a [ 11 ] 10 b ≡ - b [ 11 ] c ≡ c [ 11 ]
Donc en sommant:
Conclusion: 100 a + 10 b + c ≡ a- b + c [ 11 ]
EXERCICE 4
1 . Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 2 [ 7 ]
32 = 9 = 2 + 7
Donc: 32 ≡ 2 [ 7 ]
Conclusion : L'entier k cherché est k= 2.
2. Etablir que pour tout entier naturel n on a:
32n ≡ 2n [ 7 ]
Comme 32 ≡ 2 [ 7 ] on a ( 32 )n ≡ 2n [ 7 ]
c-à-d
Conclusion: 32n ≡ 2n [ 7 ]
3. Soit A = 32 n+ 1 + 2n + 2 où n est un entier naturel quelconque.
En déduire que A ≡ 0 [ 7 ]
Comme 32n ≡ 2n [ 7 ] on a 32n × 3 ≡ 3 × 2n [ 7 ]
Donc en ajoutant 2n + 2
32n × 3 + 2n + 2 ≡ 3 × 2n + 2n + 2 [ 7 ]
c-à-d
A ≡ 2n × ( 3 + 2 2 ) [ 7 ]
3 + 2 2 = 3 + 4 = 7
Donc :
Conclusion: A ≡ 0 [ 7 ]
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EXERCICE 5
1. Donner tous les multiples de 56 compris entre 800 et 1200.
On a:
56 × 15 = 840
56 × 16 = 896
56 × 17 = 952
56 × 18 = 1008
56 × 19 = 1064
56 × 20 = 1120
56 × 21 = 1176
Conclusion : 840 ; 896 ; 952 ; 1008 ; 1064 ; 1120 ; 1176
2. A-t-on 733 ≡ 5 [ 56 ] ?
OUI car 733 - 5 = 728 = 13 × 56
3. Quand on écrit 264 ≡ 40 [ 56] avec 0≤ 40 < 56
Quel est le reste de la division de 264 par 56 ?
C'est 40
4. Quelle congruence peut traduire l'égalité : 850 = 56 × 15 + 10 ?
850 ≡ 10 [ 15]
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EXERCICE 6
1. Trouver un entier naturel n non nul tel que
5n ≡ 1 [7]
n = 6 convient
En effet: 56 ≡ 1 [7] car 56 = 15625 = 1 + 15624 = 1 + 2232 × 7
2. Soit k un entier naturel.
Reproduire et compléter les congruences:
56×k ≡ 1 [7] car 56 ≡ 1k [7]
56×k + 1 ≡ 5 [7] En multipliant par 5
56×k + 2 ≡ 4 [7] car 25 = 21 + 4 On a de nouveau multiplié par 5
56×k + 3 ≡ 6 [7] car 20 = 6 + 2 × 7 aussi
56×k + 4 ≡ 2 [7] car 30 = 4 × 7 + 2
56×k + 5 ≡ 3 [7] car 10 = 3 + 7
Reproduire et compléter le tableau:
| Le reste dans la division de n par 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Le reste dans la division de 5n par 7 | 1 | 5 | 4 | 6 | 2 | 3 |
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