INFO TEST n° 2 Arithmétique BTS1 A 15 avril 2015
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EXERCICE 1 5 points
1. Soit n un entier naturel quelconque. Reproduire et compléter le tableau :
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Les restes dans la division de n par 5 sont |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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Les restes dans la division de n2 par 5 sont |
0 |
1 |
4 |
4 |
1 |
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Les restes dans la division de 6 n par 5 sont |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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Les restes dans la division de n2 + 6 n par 5 |
0 |
2 |
1 |
2 |
0 |
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2. L'entier naturel n2 + 6 n est-il toujours divisible par 5 ?
Non car la dernière ligne n'a pas que des 0.
( Ce nombre n'est aussi pas toujours divisible par 7:
En effet pour n = 2 on obtient 16 qui n'est pas divisible par 7.)
EXERCICE 2 5 Points
Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
1. Justifier chacune des congruences suivantes:
100 ≡ 2 [ 7 ] car 100 = 14 × 7 + 2
10 ≡ − 4 [ 7 ] car 10 + 4 = 2 × 7
1 ≡ 1 [ 7 ] car 1 = 1 + 0 × 7
Compléter alors:
100 a ≡ 2 a [ 7 ]
10 b ≡ − 4 b [ 7 ]
1 c ≡ c [ 7 ]
2. a. Quelle congruence modulo 7 peut- on en déduire pour N ?
On a en sommant les congruences précédentes:
N ≡ 2a − 4 b + c [ 7 ]
Que se passe-t-il quand 2 a − 4 b + c est divisible par 7 ?
Dans ce cas N serait divisible par 7
Lorsque N est divisble par 7 que peut-on dire de 2 a − 4 b + c ?
2 a − 4 b + c serait divisible par 7
b. Quel critère de divisibilité par 7 pouvez-vous proposer ?
N est divisible par 7 ssi 2 a − 4 b + c est divisible par 7
c. Appliquer ce critère à N = 287 afin de savoir s'il est divisible par 7.
On a : 2 × 2 − 4 × 8 + 7 = − 21
− 21 est divisible par 7
Donc 287 est divisible par 7.
EXERCICE 3 10 points
1. Donner la décomposition en facteurs premiers de a = 12600 et b = 140.
a= 23 × 32 × 52 × 7
b =22 × 5 × 7
2.Trouver le PGCD de a et b .
PGCD( a , b ) = 22 × 5 × 7 = 140.
3. L'entier 200 est-t-il un multiple de 75 ?
Non. le reste de la division de 200 par 75 est 50 qui est non nul.
200 = 75 × 2 + 50 0 ≤ 50 < 75
4. Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 1 [ 5 ]
33 = 27 = 2 + 25 Donc 33 ≡ 2 [ 5 ]
3 × 33 ≡ 3 × 2 [ 5 ] c-à-d 34 ≡ 1 [ 5 ]
Donc le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 1 [ 5 ] est: k = 4
5. Donner tous les multiples de 56 compris entre 800 et 1200.
Un multiple de 56 est de la forme 56 k avec k un entier .
On impose: 800 ≤ 56 k ≤ 1200
c-à-d
800 / 56 ≤ k ≤ 1200/ 56
c-à-d 14,28 ≤ k ≤ 21,43
Donc k est un entier compris entre 15 et 21
Ainsi les multiples de 56 compris entre 800 et 1200
sont:
56 × 15 = 840
56 × 16 = 896
56 × 17 = 952
56 × 18 = 1008
56 × 19 = 1064
56 × 20 = 1120
56 × 21 = 1176
Conclusion : 840 ; 896 ; 952 ; 1008 ; 1064 ; 1120 ; 1176
6. A-t-on 733 ≡ 5 [ 56 ] ?
OUI car 733 - 5 = 728 = 13 × 56
7. Quand on écrit 264 ≡ 40 [ 56] avec 0≤ 40 < 56
Quel est le reste de la division de 264 par 56 ?
C'est 40
8. Quelle congruence peut traduire l'égalité : 850 = 56 × 15 + 10 ?
On peut dire: 850 ≡ 10 [ 15]
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