INFO TEST ARITHMETIQUE 6/12/11 BTS1A

 

                                      INFO   TEST 1 ARITHMETIQUE            BTS1A             6 décembre 3011

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         EXERCICE 1

                  Soit n un entier naturel.

                  Soit  N = 2 n2   + 3 n

                 Complétez le tableau ci - dessous.

                 de façon à faire apparaître les restes de la division

                 euclidienne de N par 5 .

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 Réponse:

Restes de la division de n par 5 0 1 2 3 4
  Restes de la division de 3 n par 5  0 3 1 4 2
   Restes de la division de n2 par 5 0 1 4 4 1
  Restes de la division de 2 n2 par 5 0 2 3 3 2
 Restes de la division de N par 5 0 0 4 2 4
            
           

    Explication pour la dernière colonne.

      •  Le reste de la division de n par  5 est 4.

           D'où      n ≡ 4 [ 5 ]  

           Ce qui implique    3 × n ≡ 3 × 4 [ 5 ]

            c-à-d     3 n ≡ 12 [ 5 ]   

           Or    12 = 5 × 2 + 2

           Ainsi:       3n ≡ 2  [ 5 ] 

       • De nouveau:        n ≡ 4 [ 5 ]    implique      n2 ≡ 42 [ 5 ]

              Mais         4 2 = 16 = 3 × 5 + 1

           Ainsi           n2 ≡ 1   [ 5 ]

              Donc :     × n2  ≡ 2 × 1   [ 5 ]

           c-à-d        2 n2 ≡ 2   [ 5 ]

   Par somme membre à membre il vient :

           2 n2   + 3 n  ≡  4 [ 5 ]      avec 0 ≤ 4 < 5    

    On a bien 4 qui est le reste de la division de 2 n2   + 3 n  par 5. 

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       EXERCICE 2

                1. Donner une puissance de 3 , notée 3k  avec k entier naturel non nul

                      telle que 3k  ≡ 1   [ 7 ] .

                2. En déduire les restes de la division par 7 de 3n  pour tout entier naturel n.

              ( Indications mises au tableau : 

                 Distcuter suivant le reste de la division de n par k . )

                3. Application :

                         Donner le reste de la division par 7 de 337  .

                    Commentaire:  cet exercice est aménagé pour qu'un étudiant

                                            puisse prendre des initiatives.

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     Réponse :

          1. Essayons des puissance se 3.

              On a:        30  ≡ 30    [ 7 ]     c-à-d         30  ≡ 1    [ 7 ]  

               En multipliant par  3  on a :          31  ≡ 3    [ 7 ]

               En remultipliant par 3  on a :           32     9   [ 7 ]    

                             c-à-d   comme 9 = 7 + 2      32     2   [ 7 ]      

                 En remultipliant par 3 on a :            33  ≡ 6    [ 7 ]      

                  c-à-d     comme 6 = 7 - 1                 33  ≡ - 1    [ 7 ]

                  Ce - 1 est intéréssant car son carré est 1.

                  Il vient :        (   3 )2 ≡ ( - 1 )2     [ 7 ]      

                  c-à-d    3 ≡  1  [ 7 ]

                   L'entier k = 6 convient .

                    Conclusion :           On a      3 6   ≡   1  [ 7]

          2. Donnons  les restes de la division par 7 de 3n  pour tout entier naturel n.

            ( Il ne s'agit de citer abstraitement  les restes possible de la division 

            d'un entier naturel par 7. )

               Nous considérons une disjonction de cas:

               Nous allons discuter suivant le reste de la division de n par 6

                 • Cas :  il existe q dans IN tel  que  n est de la forme  n = 6 q + 0  

                    On vient de voir   36  ≡  1    [ 7 ]               

                    On  a :     (  36 ) ≡ 1q   [ 7 ]    

                 Donc   36q   ≡ 1   [ 7 ]   avec   0 ≤ 1 < 7                 

                     Dans ce cas Le reste  de la division de 3n  par 7 est  1

                Cas :  il existe q dans IN tel  que  n est de la forme  n = 6 q + 1    

                          Comme      36q   ≡ 1   [ 7 ] 

                           en multipliant par 3  il vient :

                           36q+1   ≡ 3   [ 7 ]   avec    0 ≤ 3 < 7

                     Ainsi :  

                  Dans ce cas le  reste dans la division de 3par  7 est  3 .

                 •Cas :  il existe q dans IN tel  que  n est de la forme  n = 6 q + 2

                                 Comme    36q+1   ≡ 3   [ 7 ]  

                 En multipliant par 3  il vient  :       36q+2   ≡ 9   [ 7 ]   

                   Or  9 = 7 + 2

                  Ainsi :

                    36q+2   ≡ 2  [ 7 ]    avec   0  ≤ 2 < 7

                 Dans ce cas le  reste dans la division de 3par  7 est  2 .

                 • Cas :  il existe q dans IN tel  que  n est de la forme  n = 6 q + 3               

                     Comme    36q+2   ≡ 2  [ 7 ] 

                    En multipliant par 3 il vient :

                           36q+3   ≡ 6  [ 7 ]    0  ≤  6 < 7

                       Dans ce cas  le reste dans la division de 3par  7 est  6 .

                 Cas :  il existe q dans IN tel  que  n est de la forme  n = 6 q + 4 

                            Comme  36q+3   ≡ 6  [ 7 ]

                       On a en multipliant par 3     :

                              36q+4   ≡  18 [ 7 ]

                           Or 18 = 2× 7 + 4

                     Donc:       36q+4   ≡ 4 [ 7 ]    avec   0 ≤  4 < 7

                         Dans ce cas le  reste dans la division de 3par  7 est  4 .

                  • Cas :  il existe q dans IN tel  que  n est de la forme  n = 6 q + 5 

                           Comme   36q+4   ≡ 4 [ 7 ] 

                          En multipliant par 3 il vient :

                           36q+5   ≡  12 [ 7 ] 

                              Mais  12 = 7 + 5

                          Ainsi :  

                              36q+5   ≡  5 [ 7 ]    avec  0≤ 5 < 7

                             Dans ce cas  le reste dans la division de 3par  7 est  5.

               Résumé :                   

Reste de la division par 6 de n 0 1 2 3 4 5
Reste de la division par 7 de 3n 1 3 2 6 4 5

             3.Application:

               37 = 6 × 6 + 1    avec  0 ≤ 1 < 6

              Le reste de la division de 37 par 6 est 1.

              On a vu que dans ce cas le reste de la division par 7 de 337     est 3.

               Conclusion la réponse est 3

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             EXERCICE  3

                Montrer que pour tout n dans IN ,

                               ( 3 / 2 )n    ≥ 1 + n / 2

                   ( On pourra faire une récurrence )

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  Réponse: 

                                                 Faisons une récurrence sur IN.

                   Soit n = 0 

                    On a :   ( 3 / 2 )n   = 1

                         et     1 + n / 2  = 1

                    Ainsi on a bien :     ( 3 / 2 )n    ≥ 1 + n / 2    quand n = 0

                     Soit  n un entier naturel quelconque.

                  Montrons que         ( 3 / 2 )n    ≥ 1 + n / 2      =>     ( 3 / 2 )n+ 1    ≥ 1 + ( n + 1 ) / 2 

                     Considérons     ( 3 / 2 )n    ≥ 1 + n / 2   

                     Multiplions les deux membres de cette inégalité par 3 / 2.

                       Il vient   ( 3 / 2 )n+ 1     ≥ ( 1 + n / 2    ) ( 3 / 2 )

                      c-à-d      ( 3 / 2 )n+ 1     ≥ ( 1 + n / 2  ) ( 1 + 1 / 2 )

                        c-à-d      ( 3 / 2 )n+ 1     ≥  1 + n / 2   + ( 1 + n / 2   ) ( 1/ 2 )

                        c-à-d     ( 3 / 2 )n+ 1     ≥  1 + n / 2   + 1 / 2  + n / 4

   c-à-d       ( 3 / 2 )n+ 1     ≥  1 +(  n +1 ) / 2   +  n / 4

   Or                                   1 +(  n +1 ) / 2   +  n / 4    ≥    1 +(  n +1 ) / 2 

       D'où           ( 3 / 2 )n+ 1         1 + ( n + 1 ) / 2   

          L'implication est avérée.

        Conclusion : Le résultat est vérifié.

  30  ≡ 30    [ 7 ]