INFO TEST Arithmétique BTS1 17 mars 2014
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EXERCICE 1
1. Soit n un entier naturel quelconque.
Reproduire et compléter le tableau :
| Les restes dans la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ||
| Les restes dans la division de n2 par 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | ||
| Les restes dans la division de 4 n par 5 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||
| Les restes dans la division de n2 + 4 n par 5 | 0 | 0 | 2 | 1 | 2 | |
2. L'entier naturel n2 + 4 n est-il toujours divisible par 5 ?
NON. C'est le cas seulement si n a pour reste 0 ou 1 dans la division par 5
3. Soit n = 37. Le nombre n2 + 4 n est-il divisible par 5?
37 = 5 × 7 + 2 avec 0 ≤ 2 < 5
Donc 37 a pour reste 2 dans la division par 5
Conclusion:
Pour n = 37 , n2 + 4 n n'est donc pas divisible par 5
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EXERCICE 2
1. Quel est le reste de la division euclidienne de 10 par 9 ?
10 = 9 × 1 + 1 avec 0 ≤ 1 < 9
Conclusion : le reste de la division euclidienne de 10 par 9 est 1
Quelle congruence peut-on en déduire ?
Conclusion: On a 10 ≡ 1 [ 9 ]
2.Soit n un entier naturel quelconque .
A-t-on que 10n ≡ 1 [ 9 ] ? Justifier.
OUI. En effet:
10 ≡ 1 [ 9 ]
Donc pour tout entier naturel n on a:
10n ≡ 1n [ 9 ]
c-à-d
10n ≡ 1 [ 9 ]
Conclusion: 10n ≡ 1 [ 9 ] pour tout entier naturel n
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EXERCICE 3
1. Justifier chacune des congruences suivantes:
100 ≡ 1 [ 3 ] car 100 = 9 × 11 + 1
10 ≡ 1 [ 3 ] car 10 = 3 × 3 + 1
1 ≡ 1 [ 3 ] car 1 = 3 × 0 + 1
2. Soit N un entier naturel qui s'écrit abc dans le système décimal
c'est-à-dire
N = a × 102 + b × 10 + c avec a , b , c dans { 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} et a ≠ 0.
a. Quelle congruence modulo 3 peut-on écrire pour N ?
On a : 100 ≡ 1 [ 3 ] donc 100 × a ≡ 1× a [ 3 ]
10 ≡ 1 [ 3 ] donc 10 × b ≡ 1× b [ 3 ]
1 ≡ 1 [ 3 ] donc 1 × c ≡ 1× c [ 3 ]
En sommant on obtient:
a × 102 + b × 10 + 1× c ≡ 1 × a + 1× b + 1× c [ 3]
c-à-d
N ≡ 1 × a + 1× b + 1× c [ 3]
Conclusion: N ≡ a + b + c [ 3]
b. Quel critère de divisibilité par 3 peut-on en déduire pour un entier N ici inférieur à 1000?
Un entier naturel est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres
dans le système décimal est divisible par 3
c. Soit N = 236. N est-il divisible par 3 ?
2 + 3 + 6 = 11
11 n'est pas divisible pas 3.
Conclusion: 236 n'est pas divisible par 3
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EXERCICE 4
1 . Trouver le plus petit entier naturel k non nul tel que 3k ≡ 2 [ 5 ]
On a : 32 = 9 = 5 + 4
Donc :
On a: 32 ≡ 4 [ 5 ]
En élevant multipliant par 3 il vient :
33 ≡ 12 [ 5 ] Mais 12 = 2 × 5 + 2
c-à-d
33 ≡ 2 [ 5 ]
Conclusion : k = 3 convient
2. Etablir que pour tout entier naturel n on a:
33n ≡ 2n [ 5 ]
En effet :
Soit n dans IN.
On a vu que : 33 ≡ 2 [ 5 ]
Donc ( 33 )n ≡ 2n [ 5 ]
c-à-d
Conclusion: 33n ≡ 2n [ 5 ]
3. Soit A = 33 n+ 1 + 2n + 1 où n est un entier naturel quelconque.
En déduire que A ≡ 0 [ 5 ]
On a :
33n ≡ 2n [ 5 ] donc en multipliant par 3 on a: 33n+1 ≡ 3 × 2n [ 5 ]
et 2n + 1 ≡ 2n + 1 [ 5 ]
il vient en sommant:
33 n+ 1 + 2n + 1 ≡ 3 × 2n + 2n + 1 [ 5 ]
c-à-d A ≡ 3 × 2n + 2 × 2n [ 5 ]
Mais 3 × 2n + 2 × 2n = ( 3 + 2 )× 2n = 5 ×