INFO TEST 1 ARITHMETIQUE BTS 1 B 02 décembre 2011 55mn
EXERCICE 1
Soit n un entier naturel.
Soit N = 3 n2 + 2 n
Compléter le tableau ( pour avoir les restes de la division de N par 5 )
| Restes de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Restes de la division de 2 n par 5 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| Restes de la division de n2 par 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
| Restes de la division de 3 n2 par 5 | 0 | 3 | 2 | 2 | 3 |
| Restes de la division de 3 n2 + 2 n par 5 | 0 | 0 | 1 | 3 | 1 |
EXERCICE 2
1. Donner le reste de la division de 131 par 7.
2. En déduire que 131 ≡ 5 [ 7 ]
3. Trouver les restes de la division par 7 des entiers:
1312 , 1313 , 1314 , 1315 .
--------------------------------------------------------------------------------------
Réponse:
1. On a : 131 = 7× 18 + 5 avec 0 ≤ 5 < 7
Conclusion : Le reste de la division de 131 par 7 est 5
2. Comme 131 est égal à 5 à un multiple de 7 près.
131 = 5 [ 7 ]
3. trouvons les restes demandés.
• On a : 131 ≡ 5 [ 7 ] Donc 1312 ≡ 52 [ 7 ]
c-à-d 1312 ≡ 21 + 4 [ 7 ]
Conclusion : 1312 ≡ 4 [ 7 ] avec 0 ≤ 4 < 7
• On a : 131 ≡ 5 [ 7 ] Donc 1313 ≡ 53 [ 7 ]
c-à-d 1313 ≡ 125 [ 7 ]
c-à-d 1313 ≡ 17× 7 + 6 [ 7 ]
c-à-d
Conclusion : 1313 ≡ 6 [ 7 ] avec 0 ≤ 6 < 7
• On a : 131 ≡ 5 [ 7 ] Donc 1314 ≡ 54 [ 7 ]
c-à-d 1314 ≡ 625 [ 7 ]
c-à-d 1314 ≡ 89 × 7 + 2 [ 7 ]
c-à-d
Conclusion : 1314 ≡ 2 [ 7 ] 0 ≤ 2 < 7
• On a : 131 ≡ 5 [ 7 ] Donc 1315 ≡ 55 [ 7 ]
Donc 1315 ≡ 3125 [ 7 ]
c-à-d 1315 ≡ 446× 7 +3 [ 7 ]
Conclusion : 1315 ≡ 3 [ 7 ] 0 ≤ 3 < 7
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
EXERCICE 3
Montrer que pour tout entier naturel n on a :
7 | 32 n + 2 - 2n+1 c'est-à-dire 7 divise 32 n + 2 - 2n+1
( On peut faire une récurrence sur IN )
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Réponse : Faisons une récurrence sur IN
• n = 0 (Amorce )
On a : 32 n + 2 - 2n+1 = 32 - 21 = 9 - 2 = 7
7 divise bien 7
Donc:
pour n = 0 7 divise 32 n + 2 - 2n+1
• Soit n un entier naturel quelconque. ( Caractère héréditaire )
Montrons que :
7 | ( 32 n + 2 - 2n+1 ) => 7 | ( 32( n + 1) + 2 - 2( n + 1) +1 )
Considérons 7 | ( 32 n + 2 - 2n+1 )
On a:
32( n + 1) + 2 - 2( n + 1) +1 = 32 n + 4 - 2 n + 2 = 32 n+ 2 × 3 2 - 2 n+1 × 2
c-à-d
32( n + 1) + 2 - 2( n + 1) +1 = 9 × 32 n + 2 - 2 × 2 n+1 = 7 × 32 n+ 2 + 2 × 32 n+ 2 - 2 × 2 n+ 1
c-à-d
32( n + 1) + 2 - 2( n + 1) +1 = 7 × 32 n+ 2 + 2 × ( 32 n+2 - 2 n+ 1 )
32( n + 1) + 2 - 2( n + 1) +1 est la somme de deux entiers divisibles par 7
donc est divisible par 7.
L'implication est prouvée.
Conclusion : 7 divise bien 32 n+2 - 2 n+ 1
pour tout entier naturel n
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------