INFO LISTE 1 D'EXERCICES SUR L'ARITHMETIQUE BTS TS Spé maths
EXERCICE 1
Trouver le plus petit entier naturel n tel que: 2n ≡ 1 [ 7 ]
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Réponse: Il faut essayer des entiers naturels n successivement.
• Pour n = 0
On a : 2n = 20 = 1 = 1 + 0 × 7
On a bien la congruence demandée : 2n ≡ 1 [ 7 ]
Mais n est nul.
• Pour n = 1
On a: 2n = 21 = 2 = 0 × 7 + 2
Donc 2n ≡ 2 [ 7 ]
On n'a pas la congruence demandée
• Pour n = 2
On a : 2n = 22 = 4 = 4 + 0 × 7
Donc 2n ≡ 4 [ 7 ]
On n'a pas la congruence demandée
• Pour n = 3
On a : 2n = 23 = 8 = 1 + 1 × 7
Donc 2n ≡ 1 [ 7 ]
On a la congruence demandée et
n n'est pas nul.
. Conclusion : Le plus petit entier naturel n non nul tel que 2n ≡ 1 [ 7] est n = 3.
Remarque
Puisque 23 ≡ 1 [ 7 ]
on a pour tout entier naturel p
( 23 )p ≡ 1p [ 7 ]
c-à-d ( 23 )p ≡ 1 [ 7 ]
c-à-d 23×p ≡ 1 [ 7 ]
exemple:
pour p = 3 on a: ( 23 )3 ≡ 1 [ 7 ]
c-à-d 29 ≡ 1 [ 7 ]
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EXERCICE 2
Trouver le reste de la division euclidienne de 247 par 7
Trouver le reste de la division euclidienne de 349 par 3.
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Réponse :
• 247 = 35 × 7 + 2 avec 0 ≤ 2 < 7
| 247 | | 7 |
| 2 | | 35 |
int( 247/ 7 ) = 35 ( int ( 247 / 7 ) est la partie entière de 247 / 7 sur TI 84 )
247 - 7 × int( 247 / 7 ) = 2
Conclusion : 2 est le reste de la division de 247 par 7.
• 349 = 116 × 3 + 1 avec 0 ≤ 1 < 3
| 349 | | 3 |
| 1 |
| 116 |
int( 349 / 3 ) = 116 ( quotient )
349 - 3 × int( 349 / 3 ) = 1 ( reste )
Conclusion : 1 est le reste de la division de 349 par 3.
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EXERCICE 3
Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne par 5 ?
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Réponse:
Le reste r dans une division par 5 est tel que 0 ≤ r < 5.
Donc :
Conclusion : Les restes possibles sont 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
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EXERCICE 4
Soit n un entier relatif.
Si le reste de la division de n par 3 est 0 quelle congruence modulo 3 peut-on écrire?
Si le reste de la division de n par 3 est 1 quelle congruence modulo 3 peut-on écrire?
Si le reste de la division de n par 3 est 2 quelle congruence modulo 3 peut-on écrire?
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Réponse:
• Cas : Il existe un entier relatif q tel que n = 3 q + 0 avec 0 ≤ 0 < 3.
n est égal à 0 à un multiple de 3 près.
Donc :
Conclusion: si le reste de la division de n par 3 est 0 alors n ≡ 0 [ 3 ]
• Cas : Il existe un entier relatif q tel que n = 3 q + 1 avec 0 ≤ 1 < 3.
n est égal à 1 à un multiple de 3 près.
Donc :
Conclusion : si le reste de la division de n par 3 est 1 alors n ≡ 1 [ 3 ]
• Cas : Il existe un entier relatif q tel que n = 3 q + 2 avec 0 ≤ 2 < 3.
n est égal à 2 à un multiple de 3 près.
Donc:
Si le reste de la division de n par 3 est 2 alors n ≡ 2 [ 3 ]
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EXERCICE 5
Soit n un entier relatif.
1. Compléter le tableau :
| Restes de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Restes de la division de n2 par 5 |
2. Soit N = n2 + 3 n
Déterminer les entiers relatifs n tels que N ≡ 0 [ 5 ]
( c-à-d les entiers relatifs n tels que N soit divisible par 5. )
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Réponse:
1. Complétons le tableau:
| Restes de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Restes de la division de n2 par 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
Expliquons:
• Soit n ≡ 0 [ 5 ]
Alors n2 ≡ 02 [ 5 ] c-à-d n2 ≡ 0 [ 5 ] avec 0 ≤ 0 < 5
Conclusion : le reste de la division de n2 par 5 est 0 .
• Soit n ≡ 1 [ 5 ]
Alors n2 ≡ 12 [ 5 ] c-à-d n2 ≡ 1 [ 5 ] avec 0 ≤ 1 < 5
Conclusion : le reste de la division de n2 par 5 est 1.
• Soit n ≡ 2 [ 5 ]
Alors n2 ≡ 22 [ 5 ] c-à-d n2 ≡ 4 [ 5 ] avec 0 ≤ 4 < 5
Conclusion: le reste de la division de n2 par 5 est 4.
• Soit n ≡ 3 [ 5 ]
Alors n2 ≡ 32 [ 5 ]
c-à-d n2 ≡ 9 [ 5 ]
c-à-d n2 ≡ 4 + 5 [ 5 ] ( le 5 s'intègre au modulo 5 )
c-à-d n2 ≡ 4 [ 5 ] avec 0 ≤ 4 < 5
Conclusion : le reste de la division de n2 par 5 est 4.
• Soit n ≡ 4 [ 5 ]
Alors n2 ≡ 42 [ 5 ]
c-à-d n2 ≡ 16 [ 5 ]
c-à-d n2 ≡ 1 + 3 × 5 [ 5 ]
c-à-d n2 ≡ 1 [ 5 ] avec 0 ≤ 1 < 5
. Conclusion : le reste de la division de n2 par 5 est 1.
2. Déterminons les entiers relatifs n tels que n2 + 3 n soit divisibles par 5.
Complétons de nouveau le tableau :
| Restes de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Restes de la division de n² par 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
| Restes de la division de 3n par 5 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| Restes de la division de n² +3 n par 5 | 0 | 4 | 0 | 3 | 3 |
• Explication pour le tableau .
Les congruences n ≡ 0 [ 5 ] ; n ≡ 1 [ 5 ] ; n ≡ 2 [ 5 ] ; n ≡ 3 [ 5 ] ; n ≡ 4 [ 5 ]
donnent 3n ≡ 0 [ 5 ] ; 3 n ≡ 3 [ 5 ] ; 3 n ≡ 6 [ 5 ] ; 3n ≡ 9 [ 5 ] ; 3n ≡ 12 [ 5 ] respectivement
c-à-d 3n ≡ 0 [ 5 ] ; 3 n ≡ 3 [ 5 ] ; 3 n ≡ 1 [ 5 ] ; 3n ≡ 4 [ 5 ] ; 3n ≡ 2 [ 5 ] respectivement
or n2 ≡ 0 [ 5 ] ; n2 ≡ 1 [ 5 ] ; n2 ≡ 4 [ 5 ] ; n2 ≡ 4 [ 5 ] ; n2 ≡ 1 [ 5 ] respectivement
Donc par somme membre à membre:
n2 + 3n ≡ 0 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 4 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 5 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 8 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 3 [ 5 ] respectivement
c-àd
n2 + 3n ≡ 0 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 4 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 0 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 3 [ 5 ] ; n2 + 3n ≡ 3 [ 5 ] respectivement
c-à-d
N≡ 0 [ 5 ] ; N≡ 4 [ 5 ] ; N≡ 0 [ 5 ] ; N≡ 3 [ 5 ] ; N≡ 3 [ 5 ] respectivement
•Par lecture du tableau on peut directement dire:
Deux colonnes en bas du tableau comporte 0.
Elles correspondent en haut du tableau à n ≡ 0 [ 5 ] ou n ≡ 2 [ 5 ]
Ainsi: N ≡ 0 [ 5 ] ssi n ≡ 0 [ 5 ] ou n ≡ 2 [ 5 ]
Conclusion : Les entiers relatifs n tels que N ≡ 0 [ 5 ]
ont dans l'ensemble { 5 k tels que k entier relatif } U { 2 + 5 k tels que k entier relatif }
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EXERCICE 6
Trouver le reste de la division de 247349 par 7.
On procédera par étapes:
•Trouver le reste r de la division de 247 par 7.
• Trouver le plus petit entier naturel non nul k tel que rk ≡ 1 [ 7 ]
• Trouver le reste r ' de la division de 349 par k.
• Montrer que 247349 ≡ r r ' [ 7 ]
Conclure 1
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Réponse:
• 1ère étape:
On a vu que 247 = 35 × 7 + 2 avec 0 ≤ 2 < 7
2 est le reste de la division de 247 par 7.
Ainsi : 247 ≡ 2 [ 7 ]
Donc 247349 ≡ 2349 [ 7 ]
• 2ième étape:
On a vu : 23 ≡ 1 [ 7 ]
3 est le plus petit exposant n possible non nul
tel que 2n ≡ 1 [ 7 ]
• 3ième étape
Or on a vu 349 = 116× 3 + 1 avec 0 ≤1 < 3
1 est le reste de la division de 349 par 3.
• 4ième étape
On a vu : 23 ≡ 1 [ 7 ]
Donc ( 23 )116 ≡ 1116 [ 7 ]
c-à-d 23 ×116 ≡ 1 [ 7 ]
D'où 23×116+1 ≡ 1×2 [ 7 ].
c-à-d 23×116+1 ≡ 2 [ 7 ]
c-à-d 2349 ≡ 2 [ 7 ]
c-à-d comme on a vu que 247349 ≡ 2349 [ 7]
247349 ≡ 2 [ 7 ] avec 0 ≤ 2 < 7
Conclusion : 2 est le reste de la division de 247349 par 7
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EXERCICE 7
Démontrer que pour tout entier relatif n on a :
n ( n2 + 5 ) qui est divisible par 6
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Réponse : Les restes possibles dans la division par 6 sont : 0; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
Faisons un tableau :
| Restes de la division de n par 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Restes de la division de n2 par 6 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 |
| Restes de la division de n2 + 5 par 6 | 5 | 0 | 3 | 2 | 3 | 0 |
| Restes de la division de n ( n2 + 5 ) par 6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
La dernière ligne du tableau ne comporte que des 0.
On a bien le reste dela division de n ( n2 + 5 ) par 6 qui est toujours nul.
On a : n ( n2 + 5 ) ≡ 0 [ 6 ] pour tout entier relatif n.
Conclusion : 6 divise n ( n2 + 5 ) pour tout n dans IN
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EXERCICE 9
Démontrer par deux méthodes que :
Pour tout entier naturel n
23 n - 1 est divisible par 7
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Réponse:
• Méthode avec les congruences
Soit n dans IN
On a : 23 n - 1 = ( 23 )n - 1 = 8n - 1
Or 8 = 1 + 1 × 7
Ainsi 8 ≡ 1 [ 7 ]
Donc 8n ≡ 1n [ 7 ]
c-à-d 8n ≡ 1 [ 7 ]
c-à-d 8n - 1 ≡ 0 [ 7 ]
Ce que l'on écrit 23 n - 1 ≡ 0 [ 7 ]
On a bien montré que:
Conclusion : 7 divise 23 n - 1 pour tout entier naturel n.
• Méthode avec une récurrence sur IN
• Vérifions le déjà le pour n = 0.
23n - 1 = 20 - 1 = 1 - 1 = 0
0 est bien divisible par 7
Donc :
Quand n = 0 on a bien 23n - 1 qui est divisible par 7.
• Soit n quelconque dans IN.
Montrons que :
7 | ( 23n - 1 ) => 7 | ( 23( n + 1) - 1 )
Considérons que 7 | ( 23n - 1 )
Etablissons qu'alors 7 | ( 23( n + 1) - 1 )
23 ( n + 1) - 1 = 23 n + 3 - 1 = 23 n × 23 - 1 = 23 n × 8 - 1
Donc 23 ( n + 1) - 1 = 23 n × ( 1 + 7 ) - 1 = 23 n + 23 n × 7 - 1
c-à-d 23 ( n + 1) - 1 = 23 n - 1 + 23 n × 7
Or 7 | ( 23 n - 1 )
7 | 23 n × 7
7 divise chacun des termes de la somme .
Donc 7 divise la somme 23 n - 1 + 23 n × 7
Ainsi 7 divise 23 ( n + 1) - 1 .
L'implication est avérée.
Conclusion : Le résultat est prouvé
| Restes de la division de n par 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Restes de la division de n² par 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 |
| Restes de la division de 3n par 5 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| Restes de la division de n² +3n par 5 | 0 | 4 | 0 | 3 | 3 |