BAC BLANC 13 Janvier 2011 Mathématiques TSTG1 Durée : 3 Heures
L’usage d’une calculatrice est autorisé. La présentation, la rigueur,
la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.
EXERCICE 1 5 POINTS
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; vect( i ) , vect ( j ) ).
( Unité graphique :
1. Représenter l’ensemble des points M( x , y ) du plan dont les deux coordonnées
x et y vérifient le système suivant :
x + 2 y ≤ 300
( I ) 4 x + 3 y ≤ 625
0 ≤ x ≤ 100
0 ≤ y ≤ 140
2. Une entreprise fabrique des téléviseurs et des ordinateurs.
Elle utilise dans la fabrication de ces appareils deux types de composants électroniques ;
Le composant de type A et le composant de type B.
• La production d’un téléviseur nécessite 5 composants de type A et 4 composants de type B.
• La production d’un ordinateur nécessite 10 composants de type A et 3 composants de type B.
• Pour des raisons d’approvisionnement, les consommations mensuelles ne peuvent excéder
1500 composants de type A et 625 composants de type B.
• Par ailleurs , la situation de l’entreprise sur le marché ne lui permet pas d’écouler plus
de 100 téléviseurs et 140 ordinateurs chaque mois.
• Le bénéfice réalisé est de 100 euros pour la vente d’un téléviseur et de 150 euros
pour celle d’un ordinateur.
a. Soit x le nombre mensuel de téléviseurs que produit l’entreprise et soit y
celui d’ordinateurs.
Ecrire les inéquations exprimant les contraintes de production dans la fabrication
des téléviseurs et des ordinateurs.
b. Quel est donc le domaine graphique qui traduit les contraintes ?
( On utilisera la première question. )
c. Exprimer en fonction de x et y le bénéfice réalisé pour la vente de x téléviseurs et de y
ordinateurs.
Ce bénéfice peut-il être de 15 000 euros ? de 30 000 euros ?
On justifiera graphiquement les réponses.
d. En expliquant la démarche suivie, déterminer graphiquement la quantité de téléviseurs
et la quantité d’ordinateurs à produire pour que le bénéfice soit maximal.
Quel est le montant de ce bénéfice ?
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EXERCICE 2 4 POINTS
QCM .
Vous devez choisir pour chaque question le ou les réponses bonnes
parmi les réponses proposées.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque question traitée correctement entièrement
rapporte 1 point sinon rien.
1. La fonction dérivée de la fonction f : x → ln x / x sur ] 0 , + [ est :
a. f ' : x → x - 1 / x b. f ' : x → 1 / x2 c. f ' : x → ( 1 - ln x ) / x2
2. L’ensemble de définition de l’équation : ln( 2 x + 1 ) + ln x = ln( x + 8 ) est :
a. ] - 1 / 2 , 0 [ b . ] - 8 , + ∞ [ c. ] 0 , + ∞ [
3. La fonction dérivée de la fonction g : x → x ln x - x sur ] 0 , + ∞ [ est :
a. g ' = ln b. g ' : x → 1 / x - 1 c. g ' : x → ln x - 1
4. Soit la fonction h définie sur ] 0 , + ∞ [ par h( x ) = x + 1 - ln x . Alors :
a. h ' : x → ( 2 x - 1 ) / x b. h ' : x → 2 x + 1 - 1 / x c. h ' : x → ( x2 - 1 ) / x
EXERCICE 3 6 POINTS
L’entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950.
La première année d’extraction l’entreprise a récupéré 20 000 tonnes de fer. Cependant
depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d’extraction , de l’appauvrissement du filon ,
les quantités extraites diminuent de 1% par an.
On appelle le nombre de tonnes extraites l’année ( 1950 + n ). On a donc = 20 000 .
Les résultats seront arrondis à la tonne.
1. Justifier que puis calculer .
2. Exprimer en fonction de .
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3. Quelle est la nature de la suite ( ) ? En déduire l’expression de en fonction de n.
4. Quelle est la quantité extraite en 2008 ?
5. Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l’année ( 1950 + n ) est
6. En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait 1 000 000 de tonnes de métal .
En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé ?
EXERCICE 4 5 POINTS
Ulysse et Victor sont nés tous deux le janvier 2008.
A leur naissance , leurs pères respectifs ont décidé de leur mettre de l’argent de côté.
Le père d’Ulysse dépose 100 euros le janvier 2008 dans son coffre-fort et
y ajoutera 200 euros tous les ans :
Le père de Victor place 2000 euros le janvier 2008 à intérêts composés
au taux annuel de 3% .
On note les capitaux acquis par Ulysse et Victor à l’année 2008 + n .
On utilise un tableur. Voici un tableau représentant l’écran, les résultats
ayant été demandés à 0,1 près.
|
|
A |
B |
C |
|
1 |
N |
|
|
|
2 |
0 |
100 |
2000 |
|
3 |
1 |
300 |
2060 |
|
4 |
2 |
500 |
2121,80 |
|
5 |
3 |
700 |
2185,50 |
|
6 |
4 |
900 |
2251 |
|
7 |
5 |
1100 |
2318,50 |
initial et la raison.
b. Exprimer en fonction de n.
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initial et la raison.
b. Exprimer en fonction de n.
Qui pourra le faire ?
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