Résumé 1 sur le comportement asymptotique d'une fonction 1S 2010
1. Introduction.
Partie . A .Tracer la coube de la fonction invers f : x → 1 / x.
Lire le comportement de f en + ∞ , - ∞ ,
en 0 à gauche et en 0 à droite.
Réponse: ---------------------------------------------------------------------
On lit sur la courbe le comportement de f quand x tend vers 0 , à gauche , à droite de 0 .
On lit sur la courbe le comportement de f quand x tend vers + ∞.
On lit sur la courbe le comportement de f quand x tend vers - ∞.
Cela permet d'écrire:
lim 1 / x = 1 / + ∞ = 0 et lim 1 / x = 1 / - ∞ = 0
x → + ∞ x → - ∞
De plus :
lim 1 / x = 1 / 0+ = + ∞ et lim 1 / x = 1 / 0- = - ∞
x → 0+ x → 0-
Partie. B . -------------------------------------------------------------------------
Tracer la courbe de la fonction f: x → x²
Puis lire le comportement de f en + ∞ , - ∞
Réponse: ---------------------------------------------------------------------------
Cela permet de dire:
lim x² = + ∞ et lim x² = + ∞
x → + ∞ x → - ∞
--------------------------------------------------------------------------------------------
2. Propriété.
Soit a un réel.
a est une extrémité des intervalle des définition de la fonction
x → 1 / ( x - a )
On écrit: lim 1 / ( x - a ) = 0 pour dire que 1 / ( x - a ) tend vers 0 quand x tend vers + ∞ .
x → + ∞
On écrit :
lim 1 / ( x - a )² = 0 pour dire que 1 / ( x - a )² tend vers 0 quand x tend vers + ∞ .
x → + ∞
On écrit :
lim 1 / √( x - a ) = 0 pour dire que 1 / √( x - a ) tend vers 0 quand x tend vers + ∞ .
x → + ∞
3. Propriété.
Soit a un réel.
• On écrit : lim 1 / ( x - a ) = + ∞ pour dire que 1 / ( x - a ) tend vers + ∞
x → a quand x tend vers a par la droite.
x > a
On dit que la droite verticale d'équation x = a est asymptote à droite
à la courbe de la fonction x → 1 / ( x - a ) .
• On écrit : lim 1 / ( x - a ) = - ∞ pour dire que 1 / ( x - a ) tend vers - ∞
x → a quand x tend vers a par la gauche.
x < a
On dit que la droite verticale d'équation x = a est asymptote à gauche
à la courbe de la fonction x → 1 / ( x - a ) .
4. EXEMPLE.
Soit la fonction f : x → 1 / x - 2
Etablir que la courbe de f admet une asymptote verticale. Réponse: ---------------------------------------------------------------------- En effet: Directement on peut affirmer: lim 1 / ( x - 2 ) = + ∞ et lim 1 / ( x - 2 ) = - ∞ x → 2+ x → 2- Ainsi la droite D : x = 2 est une asymptote verticale à la courbe de f éventuellement à droite , à gauche ... 5. ASYMPTOTE VERTICALE. CAS GENERAL.
Soit a un réel.
Soit f une fonction définie dans un intervalle dont une extrémité est a .
Soit ( C ) la courbe de f.
Si l'on a :
lim f( x ) = ± ∞ ou lim f( x ) = ± ∞ ou lim f( x ) = ± ∞
x → a+ x → a- x → a
alors la droite verticale D: x = a est une asymptote
verticale à ( C ) respectivement à droite , à gauche ou
à droite et à gauche. .
7. HERBIER DES LIMITES CONNUES. ( Au tableau )
8. ASYMPTOTE OBLIQUE en + ∞ ou en - ∞ .
Soit f une fonction définie dans un intervalle d'extrémité + ∞ .
( Respectivement soit f une fonction définie dans un intervalle d'extrémité - ∞ .) Soit la droite D : y = a x + b . Soit ( C ) la courbe de f. Alors:
lim ( f ( x ) - ( a x + b ) ) = 0 ssi D: y = a x + b est une asymptote à ( C ) en + ∞ .
x → + ∞
( Respectivement lim ( f ( x ) - ( a x + b ) ) = 0 ssi D : y = a x + b est
x → - ∞ une asymptote oblique à ( C ) en - ∞ . )
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