INFO. DS n° 3 1S1 22 Nov. 08 2 heures
EX 1.
1. a. Trouvons les réels a et b tels que 2 x3 + 3 x2 - 2 x - 3 = ( x2 - 1 ) ( a x + b )
pour tout x dans IR.
• On peut utiliser la division. ( aucune difficulté particulière ici . )
• On peut utiliser après développement une identification des coefficients
• Autrement on peut déjà prévoir que
a = 2 et b = 3 .
En effet:
• • 2 x3 + 3 x2 - 2 x - 3 admet deux racines évidentes 1 et - 1
car 2 + 3 - 2 - 3 = 0 ( La somme des cofficients est nulle.) et
2 - 2 = 3 - 3 ( La somme des coefficient des termes de rang
impair est égales à la somme des coefficient des termes
de rang pair. )
• • 2 x3 + 3 x2 - 2 x - 3 est bien factorisable par x2 - 1 .
Comme 2 x3 + 3 x2 - 2 x - 3 est de degré 3
et x² - 1 de degré 2 , il est naturel que l'autre facteur
soit de la forme a x + b .
• • Pour tout réel x :
• • • Le terme constant dans le membre de gauche est - 3.
et le terme constant dans le membre de droite est ( -1 ) × b ,
si l'on développait.
Donc - 3 = - b c-à-d b = 3 .
• • • Le coefficient du terme en x² dans le membre de gauche est 2 et
celui de x² dans le membre de droite est ( 1 ) a , si l'on développait.
Donc a = 2
Conclusion. a = 2 et b = 3 .
b.Résolution de l'équation 2 x3 + 3 x2 - 2 x - 3 = 0 .
Elle s'écrit ( x² - 1 ) ( 2 x + 3 ) = 0 .
c-à-d x² - 1 = 0 ou 2 x + 3 = 0 .
c-à-d x = - 1 ou x = 1 ou x = - 3 / 2
Conclusion: SIR = { - 1 ; 1 ; - 3 / 2 }
c. On peut simplifier l'expression de f( x ).
Soit x un réel tel que x ≠ 1 et x ≠ - 1.
On a f( x ) = ( 2 x3 + 3 x2 - 2 x - 3 ) / ( x² - 1 )
c-à-d f( x ) = ( ( x² - 1 ) ( 2 x + 3 ) ) / ( x² - 1 )
c-à-d f( x ) = 2 x + 3
Conclusion f( x ) = 2 x + 3 pour tout réel x
tel que x ≠ 1 et x ≠ - 1.
2 x+ 3 est une expression de fonction affine.
Conclusion f est représentée par la droite d'équation y = 2 x + 3
privée des points d'abscisses 1 et - 1
c-à-d privée des points E( 1 ; 5 ) et H( - 1 ; 1 ) .
2. Soit la fonction g ; x → x² - 3 x - 4 .
a. Donnons sa forme canonique.
g est une fonction trinome du second degré .
Soit x dans IR.
On a : g ( x ) = a ( x + b / ( 2a ) )2 - Δ / ( 4 a )
avec a = 1 , b = - 3 , c = - 4
et Δ = b² - 4 a c .
Ainsi Δ = ( - 3 )² - 4 ( 1 ) ( - 4 )
c-à-d Δ = 9 + 16 = 25
Conclusion La forme canonique de g( x ) est
g( x ) = ( x - 3 / 2 )2 - 25 / 4
b. Soit a dans IR. Soit h un réel non nul.
Donnons le taux de variation de g entre a et a + h.
On a: ( g( a + h ) - g( a ) ) / h = ( ( a + h ) 2 - 3 ( a + h ) - 4 - ( a² - 3 a - 4 ) ) / h
( g( a + h ) - g( a ) ) / h = ( ( a + h ) 2 - a2 - 3 h ) / h
( g( a + h ) - g( a ) ) / h = ( ( a + h + a ) ( a + h - a ) - 3 h ) / h
( g( a + h ) - g( a ) ) / h = ( ( 2 a + h ) h - 3 h ) / h
( g( a + h ) - g( a ) ) / h = 2 a + h - 3
Conclusion Le taux de variation de g entre a et a + h pour h dans IR•
est bien 2 a + h - 3.
c. Déduisons le nombre dérivé de g en a .
La limite de 2 a + h - 3 quand h tend vers 0 est le réel 2 a - 3.
Donc la limite ( g( a + h ) - g( a ) ) / h quand h tend vers 0 est
le réel 2 a - 3.
Conclusion Le nombre dérivé de g en a est 2 a - 3 .
g ' ( a ) = 2 a - 3 pour tout réel a.
g ' ( 4 ) = 2 × 4 - 3 = 5
g( 4 ) = 4² - 3 × 4 - 4 = 0
Conclusion g '( 4 ) = 5
g( 4 ) = 0
d. Donnons la fonction dérivée de g.
Comme g admet 2 a - 3 comme nombre dérivé pour tout réel a
g est dérivable dans IR et l(on a :
g ' : x → 2 x - 3 sur IR.
Conclusion La fonction dérivée de g sur IR est
g ' : x → 2 x - 3
Donnons le signe de g ' ( x ) suivant x dans IR.
Comme g' ( x ) = 2 x - 3 pour tout x dans IR on a :
Conclusion g ' ( x ) = 0 ssi x = - 3 / 2
g'( x ) < 0 ssi x < - 3 / 2
g' ( x ) > 0 ssi x > 0- 3 / 2
3. Donnons l'équation réduite de la tangente à la courbe
de g au point B ( 4 ; g ( 4 ) ).
Comme son équation est y = g' ( 4 ) ( x - 4 ) + g ( 4 )
et g( 4 ) = 0 et g' ( 4 ) = 5
il vient y = 5 ( x - 4 )
c- à d y = 5 x - 20 .
Conclusion y = 5 x - 20 est l'équation réduite
de la tangente à la courbe de g au point B.
4. Complétons le tableau.
x
-1
0
1,5
3
4
g( x )
0
- 4
- 6,25
- 4
0
5. Courbe ( P )
On peut . soit utiliser le tableau précédrnt en remarquant que le point
S ( 3 / 2 ; - 25 / 4 ) c-à-d S( 1,5 ; - 6,25 ) est le sommet de la parabole,
soit prendre l'image de la parabole de référence, d'équation y = a x² avec a = 1 ,
par la translation de vecteur 1,5 vect( i ) - 6, 25 vect( j ) .
Pour le trace de la tangente en B( 4 ; 0 ) il suffit de considérer un autre point
comme par exemple l'image du point B par la translation de vecteur
vect( i ) + 5 vect( j ).
6. a. Donnons la forme factorisée de g( x ).
On a constaté que : g( 4 ) = 0 et g( - 1 ) = 0. ( Voir le tableau )
On connait donc les racines 4 et - 1 de g( x ).
Or a = 1.
Conclusion g( x ) = ( x + 1 ) ( x - 4 ) pour tout réel x.
b. Résolvons l'équation 2 x3 + 3 x2 - 2 x - 3 = g( x ) dans IR.
C' est - à - dire ( x² - 1 ) ( 2 x = 3 ) = ( x + 1 ) ( x - 4 ) c-à- d ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 2 x + 3 ) = ( x + 1 ) ( x - 4 ) c-à-d ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( 2 x + 3 ) - ( x + 1 ) ( x - 4 ) ] = 0 c-à-d par factorisation: ( x + 1 ) [ (x - 1 ) ( 2 x + 3 ) - ( x - 4 ) ] = 0 c-à-d ( x + 1 ) ( 2 x² + 3 x - 2 x - 3 - x + 4 ) = 0 c- à- d ( x + 1 ) ( 2 x² + 1 ) = 0 c-à-d ( x + 1 ) = 0 c-à-d x = - 1 Conclusion SIR = { - 1 } .